卢卡斯数列
卢卡斯数列 (Lucas Sequence) 和斐波那契数列 (Fibonnacci Sequence) 有莫大的关系。故本人在介绍斐波那契数以後也得为卢卡斯数列多添一章。
先定义整数 P 和 Q 使 D = P2 - 4Q > 0，
从而得一方程 x2 - Px + Q = 0，其根为 a, b，
现定义卢卡斯数列为：
Un(P,Q) = (an - bn) / (a-b) 及 Vn(P,Q) = an + bn
其中 n 为非负整数，得 U0(P,Q) = 0、 U1(P,Q) = 1 、 V0(P,Q) = 2 、 V1(P,Q) = P、......
我们有下列和卢卡斯数列相关的恒等式：
Um+n = UmVn - anbnUm-n 、 Vm+n = VmVn - anbnVm-n
Um+1 = P*Um - Q*Um-1 、 Vm+1 = P*Vm - Q*Vm-1 (取 n = 1)
U2n = UnVn 、 V2n = Vn2 - Qn
U2n+1 = Un+1Vn - Qn 、 V2n+1 = Vn+1Vn - PQn
若取 (P,Q) = (1,-1)，我们便有 Un 为斐波那契数，
即 0、 1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21、 34、 55、 89、 144、 233、 377、 610、 987、 1597、 2584、 4141、 6765等。
而 Vn 为卢卡斯数 (Lucas Number)，
即 2、 1、 3、 4、 7、 11、18、 29、 47、 76、 123、 199、 322、 521、 843、 1364、 2207、 3571、 5781、 9349 等。
若取 (P,Q) = (2,-1)，我们便有 Un 为佩尔数 (Pell Number)，
即 0、 1、 2、 5、 12、 29、 70、 169、 408、 985、 2378、 5741等。
而 Vn 为佩尔 - 卢卡斯数 (Pell - Lucas Number) (详见另文《佩尔数列》)，
即 2、 2、 6、 14、 34、 82、 198、 478、 1154、 2786、 6726等。
此等全都是数学界很有名的数列。
卢卡斯数的性质
卢卡斯数 (简记 Ln) 有很多性质和斐波那契数很相似。如 Ln = Ln-1 + Ln-2，其中不同的是 L1 = 1、 L2 = 3。
所以卢卡斯数有：1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...... (OEIS A000204)，当中的平方数只有 1 和 4，这是由哥恩 (John H. E. Cohn) 证明的。而素数，即卢卡斯素数 (Lucas Prime) 则有： 3, 7, 11, 29, 47, ...... 。当中现在知道最大的拟素数 (Probable Prime) 为 L574219 ，此数达 120005位之多。
我们有下列和卢卡斯数相关的恒等式：
Ln2 - Ln-1Ln+1 = 5 (-1)n
L12 + L22 + ...... + Ln2 = LnLn+1 - 2
Lm+n = (5FmFn + LmLn) / 2 (式中的 Fn 为斐波那契数)
Lm-n = (-1)n (LmLn - 5FmFn) / 2
Ln2 - 5Fn2 = 4 (-1)n
卢卡斯素数龙虎榜
n 数位 发现者 年份
56003 11704 欧文 (Sean A. Irvine) / 禾达 (Bouk de Water) 2006
51169 10694 禾达 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst)
2001
44507 9302 禾达 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst) / 伦斯 (John Renze) 2005
36779 7687 禾达 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst) / 伦斯 (John Renze) 2005
35449 7409 禾达 (Bouk de Water) 2001
19469 4069 禾达 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst) 2002
19449 3020 都伯纳 (Harvey Dubner) / 凯勒 (Wilfrid Keller) 1995
13963 2919 奥基斯 (Mike Oakes) 2002
12251 2561 禾达 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst) 2001
10691 2235 都伯纳 (Harvey Dubner) / 凯勒 (Wilfrid Keller) 1995
若我们考虑的是拟素数，即那些通过费马小定理 (Fermat's Little Theorem) 逆命题测试的数，这有很大机会是素数，或可能是卡迈克尔数 (Carmichael Number)。那我们可把 n 推至 202667。但正因为 n 很大，要判断该数的素性的确不易。
参考文献及网址：
Caldwell, C. K. "The Top Twenty: Lucas Number." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=48.
Ribenboim, P. "The Little Book of Bigger Prime" , New York: Springer-Verlag, 1991
Weisstein, E. W. "Lucas Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/LucasNumber.html.