均匀设计方法
均匀设计(Uniform Design)是基于试验点在整个试验范围内均匀散布的从均匀性角度出发的一种试验设计方法, 是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法”的一个应用, 由方开泰和王元两位数学家于1978年创立。
所有的试验设计方法本质上都是在试验的范围内给出挑选代表性点的方法, 均匀设计也是如此, 它能从全面试验点中挑选出部分代表性的试验点, 这些试验点在试验范围内充分均衡分散, 但仍能反映体系的主要特征。例如正交设计是根据正交性来挑选代表点, 它在挑选代表点时有两个特点: 均匀分散, 整齐可比。“均匀分散”使试验点均衡地布在试验范围内, 让每个试验点有充分的代表性, 因此, 即使在正交表中各列都排满的情况下, 也能得到满意的结果; “整齐可比”性使试验结果的分析十分方便, 易于估计各因素的主效应和部分交互效应, 从而可分析各因素对指标影响的大小及指标的变化规律, 但是, 为了照顾“整齐可比”, 正交设计的试验点并没有能做到充分“均匀分散”, 而为了达到“整齐可比”, 也使得其试验布点的数目比较多, 它必须至少要做次试验(为因素的水平数), 而对于均匀设计, 尤其在条件范围变化大而需要进行多水平试验的情况下, 均匀设计可极大地降低试验的次数, 它只需要与因素水平数相等次数的次试验即可达到正交设计的至少做次试验所能达到的试验效果。均匀设计只考虑试验点在试验范围内充分“均匀散布”而不考虑“整齐可比”, 因此试验的结果没有正交试验结果的整齐可比性, 其试验结果的处理多采用回归分析方法。
整个试验设计过程一般需要两到三轮次试验, 通常首轮试验先在较大的条件范围内进行, 初步建立起描述指标和因素间关系的数学模型, 计算出模型在一定试验范围(原有试验范围或较原有试验范围适当扩大的试验范围)内可预报的最优值和试验条件组合, 然后进行验证试验(多是因为最优条件在试验的边界或进行了模型的外推计算－在超出原有试验条件范围的情况下进行最优指标值和条件的预测计算)以检验和修正模型, 之后缩小试验范围进行下一轮的更为精密的试验并进一步修正回归模型。一般通过这样的两到三轮试验即可达到试验目的, 不但找到了最优的试验条件组合而且还建立了可定量描述指标和因素间关系的数学模型。依试验的目的和支持条件的不同, 也可以利用均匀设计的试验点布点均匀、代表性强的特性, 用直接观察法从所有试验中挑选表现最好的试验条件组合而结束试验设计(不再进行数据的分析处理), 或挑选出最好条件后在该条件附近缩小试验范围进行更精密些的试验, 直到实现试验目的而结束试验。使用均匀设计法进行试验设计, 我们主张尽量采用建模和进行试验优化分析的方式, 透过模型我们可以对试验规律有进一步的提高认识, 而不应该停留在简单的指标数值筛选上。
均匀设计通过均匀设计表来进行试验设计, 每一个均匀设计表都有一个代号或, 其中“”表示均匀设计, “”表示要做次试验, “”表示每个因素有个水平, “”表示该表有列。的右上角加“＊”和不加“＊”代表两种不同类型的均匀设计表。所有的表都是由表中划去最后一行而得到的。通常加“*”的均匀设计表有更好的均匀性, 应优先选用, 但一般情况下, 表比表能安排更多的因素, 故当因素数较多且超过表的使用范围时, 可使用表。例如图１所示的为均匀设计表, 它表示要做９次试验, 每个因素有９个水平, 该表有４列。
每个均匀设计表都附有一个使用表, 它指示如何从均匀设计表中选用适当的列, 以及由这些列所组成的试验方案的均匀度。图２所示的为均匀设计表的使用表, 它告诉试验者, 若有两个试验因素, 应选用１、２两列来安排试验; 若有三个试验因素, 应选用２、３、４三列来安排试验。最后一列Ｄ表示均匀度的偏差, 偏差值越小, 表示均匀分散性越好。
图１ 均匀设计表图２ 均匀设计表的使用表
在各试验因素水平数不等的情况下, 可采用拟水平的方法进行试验设计, 相应地, 应该选用混合水平的均匀设计表。混合水平的均匀设计表在本质上也是使用基本的各因素水平数相等情况下的均匀设计表, 只是将该表中某些列的临近水平进行了水平合并处理。图３所示的为因素水平组合为12×12×12×6的均匀设计表。
图３ 均匀设计表
均匀设计试验法的长处在于能从尽可能少的试验次数中揭示出因素与指标间的规律。当所研究的因素和水平数目较多时, 均匀设计试验法比其它试验设计方法(如正交设计试验法、单纯形试验法)所需的试验次数更少。例如, 用正交表安排一个３因素、６水平的试验, 至少要采用表, 该表最多能安排３个因素, 需要做36次试验, 而采用均匀设计试验法时选用均匀设计表, 仅需做６次试验, 且可安排４个因素, 试验工作量可大大减少。