更相减损法
古法探源(1)
更相减损术,又称"等值算法"
“关于约分问题,实质是如何求分子,分母最大公约数的问题.<九章算术>中介绍了这个方法,叫做”更相减损术”,数学家刘徽对此法进行了明确的注解和说明,是一个实用的数学方法,中学生应该掌握它.
例1.今有九十一分之四十九,问约之得几何?
我们用(91,49)表示91和49的最大公约数.按刘徽所说,分别列出分子,分母,”以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之,等数约之,即除也,其所以相减者皆等数之重叠,故以等数约之.”译文如下:约分的法则是:若分子、分母均为偶数时,可先被2除,否则,将分子与分母之数列在它处,然后以小数减大数,辗转相减,求它们的最大公约数,用最大公约数去约简分子与分母。其与古希腊欧几里德所著的《几何原本》中卷七第一个命题所论的相同。列式如下:
91 49
1 49 42 1
42 7
5 35
7
这里得到的7就叫做”等数”,91和49都是这等数的重叠(即倍数),故7为其公约数.而7和7的最大公约数就是7,(7,7)=7,所以 (91,49)=(42,7)=(7,7)=7
更相减损术在现代仍有理论意义和实用价值.吴文俊教授说:”在我国,求两数最大公约数即等数,用更相减损之术,将两数以小减大累减以得之,如求24与15的等数,其逐步减损如下表所示: (24,15)->(9,15)->(9,6)->(3,6)->(3,3)
每次所得两数与前两数有相同的等数,两数之值逐步减少,因而到有限步后必然获得相同的两数,也即所求的等数,其理由不证自明.
这个寓理于算不证自明的方法,是完全构造性与机械化的尽可以据此编成程序上机实施”.吴先生的话不仅说明了此法的理论价值,而且指明学习和研究的方向.
更相减损法很有研究价值,它奠定了我国渐近分数,不定分析,同余式论和大衍求一术的理论基础.望能仔细品味
C语言相关程序从键盘输入两正整数数,求其最大公约数
main()
{int a,b;
scanf("%d %d
",&a,&b);
while(a!=b)
{
if (a>b)
a-=b;
else
b-=a;
}
printf("%d",a);
}