无穷远点
射影几何中直线有一个无穷远点(point at infinity):直线的端点就是无穷远点,直线的两端交于无穷远点(可把直线看作封闭曲线).两条平行的直线可以看作相交在无穷远点,所有的平行直线都交于同一个无穷远点.
初等几何中的无穷远点定义两条或者更多条直线共点，意思是以下两种情况之一：或者存在一个点，所有直线都通过它；或者它们两两平行。
这样，在初等几何中，并不定义无穷远点，而只把交于无穷远点作为平行的另一种说法。
这样，如果P是直线AB上的无穷远点，那么PA/PB=1
在初等几何中，有很多命题需要考虑平行这一特例，使用无穷远点，便避免了这些问题。
平行线交于无穷远点的证明O是光源，AB是竖杆，CD是地平线，OR//CD，M是AB上一动点，M的影子是N。
当M逐渐升高，N就越来越远，当M非常接近R时N就远得难以想象。
如果M与R重合呢？
根据tg90=无穷大可知，此时N无穷远。
N可是OM与CD的交点呐！
可是OR偏偏平行于CD，总不可能认为R没影子吧。所以OR与CD交于无穷远点！
这与OR与CD不相交矛盾吗？
当然不，无穷远点是射影空间的“想象中的点”，它代表“方向”。在现实世界或是一般数学世界中根本找不到或认为没有这个点。
直线只有一个无穷远点的证明（
在前面的图上加上OS//AB）
前面只说到M与R重合，如果M继续上升，情况又怎么样了，N又在何方？
如图所示，当M继续上升时，N跑到了CD的左边去了！并且，随着M的升高而越来越接近S！
当M下移，穿破地表继续下降时，N从右边越来越接近S！
这样，当M上升到无穷远或下降到无穷远时，N就到了S！由于一个N显然只对应一个M，所以“天上”“地下”“两个”无穷远点是同一个。
直线与圆直线居然是封闭曲线，两点确定一条直线，但三点才确定一个圆。这如何理解？
事实上，由于无穷远点是“方向”，所以任何两点都确定了一个无穷远点，直线正是过这两点及对应无穷远点的“圆”。