Kac-Moody代数
Kac–Moody代数是一个李代数, 通常无限维, 其定义自(Victor Kac所谓的)广义根系. Kac–Moody 代数的应用遍及数学和理论物理学.
定义
假定以下材料:
C = (c_) ——一个r阶广义嘉当矩阵(generalised Cartan matrix) C = (c_)r.
mathfrak ———— 一个 2n − r维复向量空间 mathfrak.
mathfrak^* ———— mathfrak的对偶空间
alpha_i ————mathfrak 中n枚相互独立的元,称为对偶根'(co-root)
alpha_i^* ————mathfrak^* 中n枚线性相互独立的元 ,称为根(root)
上述各元满足 alpha_i^*(alpha_j) = c_.
Kac–Moody代数mathfrak由符号 e_i , f_i (i=1,..,n) 及空间mathfrak 生成;
以上各元满足以下关系:
[url=e_i,f_i][1] = alpha_i.
[url=e_i,f_j][2] = 0 ;其中 i
eq j.
[url=e_i,x][3]=alpha_i^*(x)e_i, 其中x in mathfrak.
[url=f_i,x][4]=-alpha_i^*(x)f_i, 其中 x in mathfrak.
[url=x,x'][5] = 0 ;其中 x,x' in mathfrak.
(其中 mathcal C_;y = [url=x,y][6].)
一个实(维数可以无限)李代数亦可称为 Kac–Moody代数, 若其复化是个 Kac–Moody代数.
释义
mathfrak 是此 Kac–Moody 代数的一嘉当子代数。
若g是 Kac–Moody 代数的一元,使得
forall xin mathfrak,[url=g,x][7]=omega(x)g
其中 ω 是 mathfrak^*的一元,
则称g为幂(weight) ω的. 吾人可分解一Kac–Moody 代数成其幂空间,则嘉当子代数 mathfrak has 幂 zero,eihas 幂 α*iandfihas 幂 −α*i. 若二幂特征向量的李括号非零, 则其幂是二幂之和. (若 i
eq j ) 则 [url=e_i,f_j][8] = 0 一条件即指 α*i都是简单根.