鬼谷算法

汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦一眼说：“你顶多能带十万兵吧！”汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善啰！”刘邦心中又添了三分不高兴，勉强说：“将军如此大才，我很佩服。现在，我有一个小小的问题向将军请教，凭将军的大才，答起来一定不费吹灰之力的。”韩信满不在乎地说：“可以可以。”刘邦狡黠地一笑，传令叫来一小队士兵隔墙站队，刘邦发令：“每三人站成一排。”队站好后，小队长进来报告：“最后一排只有二人。”“刘邦又传令：“每五人站成一排。”小队长报告：“最后一排只有三人。”刘邦再传令：“每七人站成一排。”小队长报告：“最后一排只有二人。”刘邦转脸问韩信：“敢问将军，这队士兵有多少人？”韩信脱口而出：“二十三人。”刘邦大惊，心中的不快已增至十分，心想：“此人本事太大，我得想法找个岔子把他杀掉，免生后患。”一面则佯装笑脸夸了几句，并问：“你是怎样算的？”韩信说：“臣幼得黄石公传授《孙子算经》，这孙子乃鬼谷子的弟子，算经中载有此题之算法。

“鬼谷算”是《孙子算经》上有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”）编写而成的。原来的题目是：

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”

用通俗的话来说，题目的意思就是

有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个。这些物品的数量至少是多少个？

（注：诗题及题目原文都无“至少”二字，但“孙子问题”都是些求“最少”或者求“至少”的问题，否则就会有无数多个答案。所以，解释题目意思时，在语句中加上了“至少”二字。）

《孙子算经》解这道题目的“术文”和答案是：

“三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百十减之，即得。”“答曰：二十三。”

这些话是什么意思呢？用通俗的话来说，就是：

先求被3除余2，并能同时被5、7整除的数，这样的数最小是140；

再求被5除余3，并能同时被3、7整除的数，这样的数最小是63；

然后求被7除余2，并能同时被3、5整除的数，这样的数最小是30。

于是，由140＋63＋30=233，得到的233就是一个所要求得的数。但这个数并不是最小的。

再用求得的“233”减去或者加上3、5、7的最小公倍数“105”的倍数，就得到许许多多这样的数：

｛23，128，233，338，443，…｝

从而可知，23、128、233、338、443、…都是这一道题目的解，而其中最小的解是23。

答：这些物品的数目至少是23个。

需要指出的是，在《孙子算经》上，有一段关于这类题目的解题“术文”：

“凡三三数之剩一则置七十，五五数之剩一则置二十一，七七数之剩一则置十五，一百六以上以一百五减之，即得。”

（注：古称“106”和“105”为“一百六”和“一百五”，而称“160”和“150”为“一百六十”和“一百五十”。所以，这里的“一百六”和“一百五”分别指“106”和“105”，而不是“160”和“150”。）

明代著名的大数学家程大位，在他所著的《算法统宗》中，对于这种解一般“孙子问题”的方法，还编出了四句歌诀，名曰《孙子歌》：

三人同行七十稀，

五树梅花廿一枝；

七子团圆正半月，

除百零五便得知。

歌中的“廿”，读音与“念”音相同。“廿”即二十的意思。

这一歌诀的“诗意”，我们可以不去理会，只需注意它的数字就行了。歌诀中的每一句话，都指出了一步解题方法：

“三（3）人同行七十（70）稀”——是说除以3所得的余数，要用“70”去乘它；

“五（5）树梅花廿一（21）枝”——是说除以5所得的余数，要用“21”去乘它；

“七（7）子团圆正半月（15）”——“半月”是一个月30天的一半，即15日，这是说，除以 7所得的余数，要用“ 15”去乘它；

“除百零五（105）便得知”——这是说要把上面所乘得的三个数相加，加得的和如果大于105，便应减去105，或者减去105的倍数。这也就是《孙子算经》上的“一百六（106）以上，以一百五（105）减之”。这样得出的差，便是所要求的这个最小的未知数了。

运用这一歌诀来解答这道“物不知数”问题，便是

2×70+3×21+2×15=140+63+30=233

233-105-105=23（答略）

不过，用这种方法解这类问题，有它的局限性，它只能解答用3、5、7作除数的题目，遇到用其他数作除数的算题，它就行不通了。这一点必须引起我们的注意。