四面体
定义由四个三角形,六条棱组成的物体
是三棱锥。
体积过一顶点的三向量设为a，b，c，所求四面体的体积就是|(a×b)•c|/6。设 a={X1,Y1,Z1} b={X2,Y2,Z2} c={X3,Y3,Z3} 则所求的体积是|T|/6，其中T的值可以用下面的行列式计算出来： |X1 Y1 Z1| |X2 Y2 Z2| |X3 Y3 Z3| 如果四面体的四顶点坐标分别为(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)，(x3,y3,z3)，(x4,y4,z4)，则上面的T值可以用下面的行列式计算出来： |x1 y1 z1 1| |x2 y2 z2 1| |x3 y3 z3 1| |x4 y4 z4 1|
性质如果设四面体ABCD的顶点A在平面BCD上的射影为O，△ABC的面积为S1，△ADC的面积为S2，△BCD的面积为S3，△ABD的面积为S4，二面角A-BC-D为θ1-3，二面角A-DC-B为θ2-3，二面角A-BD-C为θ3-4，二面角C-AB-D为θ1-4，二面角C-AD-B为θ2-4，二面角B-AC-D为θ1-2，则
S1 = S2cosθ1-2 + S3cosθ1-3 + S4cosθ1-4
S2 = S1cosθ1-2 + S3cosθ2-3 + S4cosθ2-4
S3 = S1cosθ1-3 + S2cosθ2-3 + S4cosθ3-4
S4 = S1cosθ1-4 + S2cosθ2-4 + S3cosθ3-4）
师：很好！那么，在四面体中是否还有类似于余弦定理的性质？
（启发学生注意余弦定理的证明，它能否利用三角形的射影定理得到证明？从而在证明分析过程中找到四面体的类似性质，并让学生写出完整的 证明：
四面体ABCD同上设，则
S12 = S22 + S32 +S42 - 2S2S3 cosθ2-3 - 2S2S4 cosθ2-4 - 2S3S4 cosθ3-4
S22 = S12 + S32 +S42 - 2S1S3 cosθ1-3 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S3S4 cosθ3-4
S32 = S12 + S22 +S42 - 2S1S2 cosθ1-2 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S2S4 cosθ2-4
S42 = S12 + S22 +S32 - 2S1S2 cosθ1-2 - 2S1S3 cosθ1-3 - 2S2S3 cosθ2-3
特别地，当cosθ1-2 = cosθ1-4 = cosθ2-4 = 0，即二面角C-AB-D、 C-AD-B、B-AC-D均为直二面角（也就是AB、AC、BC两两垂直）时，有
S32 = S12 + S22 +S42，
这恰好可以看成是三角形勾股定理的类比，从而，在某一个顶点处三条棱两两垂直的四面体就是直角三角形的类比四面体。早在一千八百多年以前，我们的先辈就研究过这种四面体，著名的中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中称其为鳖nuo。一个顶点处三条棱两两垂直的四面体我们在上个学期已经遇到过，并且曾经证明除三个直角三角形的面外，剩下的面一定是锐角三角形。现在我们又知道，锐角三角形面积的平方等于三个直角三角形的面积的平方和。
四面体上的余弦定理略证：
S32 = S3S1cosθ1-3 + S3S2cosθ2-3 + S3S4cosθ3-4
= S1 S3cosθ1-3 + S2 S3cosθ2-3 + S3 S4cosθ3-4
= S1（S1 - S2cosθ1-2 + S4cosθ1-4）+
S2（S2 - S1cosθ1-2 + S4cosθ2-4）+
S4（S4 - S1cosθ1-4 + S2cosθ2-4）
= S12 + S22 +S42 - 2S1S2 cosθ1-2 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S2S4 cosθ2-4
四面体作为最简单、最基本的几何体，了解它的性质是必要的．与四面体关系密切的多面体是其外接平行六面体(过四面体三组对棱所作的三组平行平面围成的平行六面体)，通过外接平行六面体，可以得出四面体下面的(1)，(2)性质．由反证法等，还可以得到下面的(3)，(4)等性质．
(1)四面体各棱长的平方和，等于三组对棱中点连线的平方和的四倍；
(2)四面体四中线(连四面体各顶点与其对面重心的线段)交于一点，这点称为四面体的重心，重心分各中线从顶点算起的两部分之比为3∶1．
(3)任何一个四面体总有一个端点，从这个端点发出的三条棱为三边可以作成一个三角形；
(4)除四面体外，不存在任何一种凸多面体，它的每一个顶点和所有其余的顶点之间都有棱相连接；
(5)若四面体四个面的面积相等，则四面体的对棱分别相等(对棱分别相等的四面体称为等腰四面体或等面四面体)；
(6)若四面体的外接球球心与内切球球心重合，则四面体的对棱分别相等；
(7)若四面体的两组对棱互相垂直(有两组对棱互相垂直的四面体称为重心四面体或正交四面体)，则第三组对棱也互相垂直；
(8)若四面体的两组对棱互相垂直，则三组对棱中点连线(段)都相等