戴德金

戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind ，1831—1916）

德国数学家。1831年10月6日生于不伦瑞克，1916 年2月12日卒于同地。1850年入格丁根大学，成为C.F.高斯的学生，1852 年完成关于欧拉积分的博士论文，受到高斯赏识。1854年起在格丁根大学任讲师。在格丁根他与任教的P.G.L.狄利克雷和B.黎曼结为好友。后来狄利克雷和黎曼的全集都是由戴德金编辑的。1858年他应聘到瑞士苏黎世综合工科学校任教。1862年回到不伦瑞克综合工科学校教书。

戴德金在数学上有很多新发现。不少概念和定理以他的名字命名。他的主要贡献有以下两个方面：在实数和连续性理论方面，他提出“戴德金分割”，给出了无理数及连续性的纯算术的定义。1872年，他的《连续性与无理数》出版，使他与G.康托尔、K.魏尔斯特拉斯等一起成为现代实数理论的奠基人。在代数数论方面，他建立了现代代数数和代数数域的理论，将E.E.库默尔的理想数加以推广，引出了现代的“理想”概念，并得到了代数整数环上理想的唯一分解定理。今天把满足理想唯一分解条件的整环称为“戴德金整环”。他在数论上的贡献对19世纪数学产生了深刻影响。

据《辞海》，戴德金还是格丁根大学哲学博士、柏林科学院院士。

戴德金分割

假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B， A中的每一个元素都小于B中的每一个元素，任何一种分类方法称为有理数的一个分割。

对于任一分割, 必有3种可能, 其中有且只有1种成立:

A有一个最大元素a，B没有最小元素。例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数。 B有一个最小元素b，A没有最大元素。例如A是所有<1的有理数。B是所有≥1的有理数。 A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。显然A和B的并集是所有的有理数，因为平方等于2的数不是有理数。注:：A有最大元素a，且B有最小元素b是不可能的，因为这样就有一个有理数不存在于A和B两个集合中，与A和B的并集是所有的有理数矛盾。

第3种情况，戴德金称这个分割为定义了一个无理数，或者简单的说这个分割是一个无理数。

前面2种情况中，分割是有理数。

这样，所有可能的分割构成了数轴上的每一个点，既有有理数，又有无理数，统称实数。[1]