级数
级数
series
将数列un的项 u1，u2，…，un，…依次用加号连接起来的函数。数项级数的简称。如：u1＋u2＋…＋un＋…，简写为∑un,un称为级数的通项，记Sm=∑un称之为级数的部分和。如果当m→∞时 ，数列Sm有极限S，则说级数收敛，并以S为其和，记为∑un=S否则就说级数发散。
级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数， 微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。
级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 ：∑un收敛＜＝＞任意给定正数ε，必有自然数N，当n＞N，对一切自然数 p，有｜un+1＋un+2＋…＋un+p｜＜ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。
如果每一un≥0（或un≤0），则称∑un为正（或负）项级数，正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界，例如∑1/n！收敛，因为
Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/2^2+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。
有无穷多项为正，无穷多项为负的级数称为变号级数，其中最简单的是形如∑[(-1)^(n-1)]*un(un>0)的级数，称之为交错级数。判别这类级数收敛的基本方法是莱布尼兹判别法 ：若un ≥un+1 ，对每一n∈N成立，并且当n→∞时lim un=0，则交错级数收敛。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)收敛。对于一般的变号级数如果有∑|un|收敛，则称变号级数绝对收敛。如果只有 ∑un收敛，但是∑|un|发散，则称变号级数条件收敛。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n^2)绝对收敛，而∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)只是条件收敛。
如果级数的每一项依赖于变量x,x 在某区间I内变化,即un＝un(x),x∈I，则∑un(x)称为函数项级数,简称函数级数。若x＝x0使数项级数∑un(x0)收敛，就称x0为收敛点，由收敛点组成的集合称为收敛域，若对每一x∈I，级数∑un(x)都收敛，就称I为收敛区间。显然，函数级数在其收敛域内定义了一个函数，称之为和函数S(x)，即S(x)=∑un(x)如果满足更强的条件，Sm(x)在收敛域内一致收敛于S(x)。
一类重要的函数级数是形如∑an(x-x0)^0的级数，称之为幂级数。它的结构简单 ，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。
还有一类非常常用的级数是傅里叶级数。