幂级数

函数项级数的概念

定义1 函数列 ，

则称为函数项级数。

定义2取 ，则成为常数项级数，

若收敛，则称为的收敛点；

若发散，则称为的发散点。

定义3 函数项级数的收敛点的集合称为其收敛域，记为D。

定义4 对于任意一点，有收敛，因而有一个确定的和，该和是关于 的函数，称为 和函数，记为S（x）。

定义5 若用 表示 的前n项的和，

则在收敛域上有记称为的余项，且在收敛域上有 。

幂级数1．幂级数的有关概念

定义6 具有下列形式的函数项级数

（1）称为幂级数。

特别地，在中令即上述形式化为

（2）称为 的幂级数。

取为常数项级数，如收敛，其和为

取为常数项级数，如收敛，其和为

取为和函数项级数，总收敛，其和为

对幂级数主要讨论两个问题：

（1）幂级数的收敛域 （2）将函数表示成幂级数。

幂级数的收敛域具有特别的结构

定理1：（i）如 在 收敛，则对于满足 的一切 ， 都绝对收敛；

（ii）如 在 发散，则对于满足 的一切 ， 发散。

证：（1）∵ 收敛

∴ （收敛数列必有界）

而 为几何级数，当 即收

∴ 收 ∴ 原级数绝对收敛

（2）反证：如存在一点 使 收

则由（1） 收，矛盾。

由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间，因此存在非负数R，使 收敛； 发散，称R为收敛半径，（-R，R）为收敛区间。

2．幂级数的收敛域及其求法

定理2：如幂级数 系数满足 ，

则（1收敛区间为（-R，R）；

（2）收敛区间为（－∞，＋∞）；

（3）幂级数 仅在一点x=0处收敛。

注意：当时， 的敛散性不能确定，要讨论 的敛散性，从而求得收敛域。

例1：求下列幂级数的收敛域。

（1） （2） （3）

解：（1） ， 故 ，

当 时， 原级数为 为交错级数，满足

¬ ， ∴ 收敛；

当 时， 原级数为 发散，

∴ 收敛域为

解（2）由于 ∴ 故收敛域为 。

解（3）

令 ∴ 。

当 时，

原级数为

∴ 发散；

同理 时， 级数也发散 ，

∴收敛域

三、 幂级数的性质

定理3

定理

求幂级数的和函数：利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式，即化到公式：