向量内积

定义： 设有n维向量

实数称之为向量α与β的内积，记作：.

内积是向量的一种运算，用矩阵的记号表示，当α与β都是列向量时，则有：

同时内积又满足以下运算规律(其中α,β,γ为n维向量,λ为实数)：

(1)：(α,β)=(β,α)；(2)：(λα,β)=λ(α,β)；(3):(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ).

定义： 数称为n维向量α的长度(或范数)，记为：

当，称α为单位向量。

向量的内积满足（此式为许瓦兹不等式），由此可得：（当）

定义：当时，称为n维向量α与β的夹角。

当(α,β)=0时，称向量α与β正交.

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在这里我们再来学习一下正交向量组的性质。(正交向量组就是一组两两正交的非零向量组)

定理：若n维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关。

注：这个定理说明任何正交向量组都是线性无关的，但线性无关的向量组不一定是正交向量组，在这里我们来学习一种把线性无关的向量组转化为正交向量组的方法：施密特正交化法.

设有向量组(r＞2)是线性无关向量组.

先令

再根据作出向量β2,要求β1与β2正交,即：

为此可作线性组合 ,k1为待定常数，

把上式两边用β1作内积得

因为，而，所以

从而：

同理，令，要求,。

为此分别用β1，β2与上式作内积可得，

从而：

这样得到得β1，β2，β3是两两正交的。

不断重复上述作法，就可得到下列向量：

.................

则β1，β2，......,βr就是正交向量组.

若将每个向量βi乘以就得到正交单位向量组

，，.....，

上面将线性无关向量组，化为正交单位向量组的方法称为施密特正交化法