牛顿法
Newton Method
牛顿法
解非线性方程f(x)=0的牛顿(Newton) 法，就是将非线性方程线性化的一种方法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之 一。
一 牛顿法的基本思想
把非线性函数f(x)在 处展开成 泰勒级数
f(x)=f( )+(x- )f′( )+(x- ) + …
取其线性部分，作为非线性方程f(x)=0的近似方程，则有
f( )+(x- ) f′( )=0
设f′( )≠0，则其解为x = - (1)
再把f(x)在x 处展开为泰勒级数，取其线性部分为f(x)=0的近似方程，若
f′(x ) ≠0，则得x = - 如此继续下去，得到牛顿法的迭代公式：x = - (n=0,1,2,…) (2)
例1 用牛顿法求方程f(x)=x +4x -10=0在［1,2］内一个实根，取初始近似值x =1.5。
解 f′(x)=3x +8x所以迭代公式为：
x = - n=0,1, 2，…
列表计算如下：
n
0
1
2
3
1.5
1.3733333
1.36526201
1.36523001
二 牛顿法的几何意义
方程f(x)=0的根就是曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标x*，当初始近似值 选取后，过( ,f( ))作切线，其切线方程为：y- f( )=f′( )(x- )
它与x轴交点的横坐标为x = -
一般地，设 是x*的第n次近似值，过( ,f( )作y=f(x)的切线，其切线与x轴交点的横坐标为：x = - 即用切线与x轴交点的横坐标近似代
曲线与x轴交点的横坐标，如图2-4。
2-4
牛顿法正因为有此明显的几何意义，所以也叫切线法。
三 牛顿法的收敛性及收敛速度
定理 设f(x)在［a,b ］满足
(1) f(a)·f(b)<0
(2) f(x)∈［a,b］，f′(x),f″(x)均存在，且f′(x)与f″( x)的符号均保持不变。
(3) f( )·f″(x)>0， 、x∈［a,b］，则方程f(x)=0在［a,b］上有且只有一个实根，由牛顿法迭代公式计算得到的近似解序列｛ ｝收敛于方 程f(x)=0的根x*。
由方程f(x)=0得到的牛顿迭代形式
x=x- = =1- = 由于f(x*)=0，所以当f′(x*)≠0时， (x* )= 0，牛顿法至少是二阶收敛的，即牛顿法在单根附近至少是二阶收敛的，在重根附近是线性收敛的。
牛顿法收敛很快，而且可求复根，缺点是对重根收敛较慢，要求函数的一阶导数存在。
四 牛顿二阶导数法
这里将简单介绍一下牛顿二阶导数法。对其几何意义及收敛性不作详细的叙述，读者可仿照牛顿法进行讨论，其基本思想是：
将f(x)在 处展开泰勒级数
f(x)=f( )+f′( )(x- )+ f″( )(x- ) +…
取右端前三项近似代替f(x)，于是得f(x)=0的近似方程为
f( )+f′( )(x- )+ f″( )(x- ) =0
也即f( )+(x- )[f′( )+ f″( )(x- )] =0 (3)
设其解为 .利用(1)， - =- ，代入(3)中括号内 - ,则得f( )+( - ) [f′( )+ f″( ) ] =0
于是解出 ，得 = -
重复以上过程得： = -
于是得牛顿二阶导数法的迭代公式为：
= - n=0,1,2,… (4)
上式与牛顿法迭代公式(2)相比，利用此公式求根收敛更快，迭代次数更少。其缺点是要求f(x)的二阶导数存在。
牛顿切线法可以由牛顿二项式推出。这是一个由开方公式引出的：
X(n+1)=Xn+(A/X^(k-1)-Xn)1/k (5)（n,n+1表示下角标）
开立方公式：
当（5）式中的K=3时就是开立方公式。
设A = X^3,求X.称为开立方。 开立方有一个标准的公式：
X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3(n，n+1是下角标）
例如，A=5，,即求
5介于1的3次方;至2的3次方;之间（1的3次方=1，2的3次方=8）
初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我们取X0 = 1.9按照公式：
第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。
即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位数值,，即1.7。
第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。
即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。
第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.
第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099
这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值
偏小，输出值自动转大。即5=1.7099^3;
当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个,都是X1 = 1.7 > 。当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，即1.5。 1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。
如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。即
X(n + 1) = Xn + (A / Xn − Xn)1 / 2.
例如，A=5：
5介于2的平方至3的平方;之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取 中间值2.5。 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；
即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。
第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；
即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。取3位数。
第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。
即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.
每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。