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多面体欧拉定理

王朝百科·作者佚名  2010-04-07  
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多面体欧拉定理

欧拉定理

定理 简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系

V+F-E=2

公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律

定理的证明分析:以四面体ABCD为例。

将它的一个面BCD去掉,再使它变为平面图 形,四面体的顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变(这里F1=F-1)。因此,要研究V、E和F的关系,只要去掉一个面,将它变形为平面图形即可。

只需平面图形证明:V+F1-E=1

(1)去掉一条棱,就减少一个面,V+F1-E的值不变。例如去掉BC,就减少一个面ABC。同理,去掉棱CD、BD,也就各减少一个面ACD、ABD,由于V、F1-E的值都不变,因此V+F1-E的值不变

(2)再从剩下的树枝形中,去掉一条棱,就减少一个顶点,V+F1-E的值不变。例如去掉CA,就减少一个顶点C。同理去AD就减少一个顶点D,最后剩下AB。

在以上变化过程中,V+F1-E的值不变,

V+F1-E=2-0-1=1,

所以 V+F-E= V+F1-E+1=2。

对任意的简单多面体,运用这样的方法,都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。

定理的意义

(1)数学规律:公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律;

(2)思想方法创新训练:在定理的发现及证明过程中,在观念上,假设它的表面是橡皮薄膜制成的,可随意拉伸;在方法上将底面剪掉,然后其余各面拉开铺平,化为平面图形(立体图→平面图)。

(3)引入拓扑新学科:“拉开图”与以前的展开图是不同的,从立体图到拉开图,各面的形状,以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化,而顶点数,面数,棱数等不变。

事实上,定理在引导大家进入一个新几何学领域:拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料(如橡皮波)做成的图形,拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

(4)给出多面体分类方法:

在欧拉公式中,令 f(p)=V+F-E,f(p)叫做欧拉示性数。定理告诉我们,简单多面体的欧拉示性数f (p)=2。

除简单多面体外,还有不是简单多面体的多面体。例如,将长方体挖去一个洞,连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面,而能变为一个环面,它的欧拉示性数为f (p)=16+16-32=0,

所以带一个洞的多面体的欧拉示性数等于零。

欧拉定理又一证法如图(1)多面体,设顶点数V,面数F,棱数E。剪掉一个面,将其余的面拉平,使它变为平面图形,如图(2)

我们在两个图中求所有面的内角总和Σα

一方面,在图(1)中利用面求内角总和。

设有F个面,各面的边数分别为n1,n2,…,nF,

各面的内角总和为:

Σα = [(n1-2)•1800+(n2-2)•1800 +…+(nF-2) •1800]

= (n1+n2+…+nF -2F) •1800

=(2E-2F) •1800 = (E-F) •3600 (1)

另一方面,在图(2)的拉开图中,利用顶点来求内角总和。

设剪去的一个面为n边形,其内角和为(n-2)•1800,则所有V个顶点中,有n个顶点在边上,V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)•3600,边上的n个顶点处的内角和(n-2)•1800。所以,多面体所有各面的内角和为:

Σα = (V-n)•3600+(n-2)•1800+(n-2)•1800=(V-2)•3600. (2)

由(1)(2)得

(E-F) •3600 =(V-2)•3600

所以 V+F-E=2.

简单多面体

表面经过连续变形可以变为球面的多面体叫做简单多面体

 
 
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