高斯积分

（Gaussian quadrature）

首先我们说明一下这里使用积分的符号：

∫[L] f(x,y) ds

表示f(x,y)在曲线L上的第一型曲线积分。

首先看第一型曲线积分形式的高斯积分：

设L是一条曲线，r是这曲线一点到L外一点A(e,m)的连接向量，n是曲线这一点的法向量，(r,n)表示r与n向量的夹角，则积分为：

g = ∫[L] cos(r,n)/|r| ds

高斯积分的几何意义就是：

g是从点A所能看到曲线L的角的度量。

设(x,n)是x轴正方向与n的夹角，(x,r)是x轴正方向与r的夹角，则

(r,n) = (x,n) - (x,r)

所以

cos(r,n) = cos(x,n)cos(x,r)+sin(x,n)sin(x,r)

=((x-e)cos(x,n)/|r| + (y-m)sin(x,n)/|r|

代入高斯积分

g = ∫[L] ((y-m)sin(x,n)/(|r|^2) + (x-e)cos(x,n)/(|r|^2)) ds

化成第二型曲线积分

g = ±∫[L] ((y-m)/(|r|^2) dx - (x-e)/(|r|^2) dy)

±表示法线n的两个方向。

此方程满足积分路径无关的条件，假如L是一条闭曲线，A在L外部，那么g=0，如果A在内部，根据挖奇点法，积分结果为2π。