蒙日圆

在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，半径等于长短轴平方和的算数平方根，这个圆叫蒙日圆。

证明设椭圆中心为O,焦点是F1,F2.焦点到中心距离为c。PM,PN是椭圆两条切线，且互相垂直。

连OP.作OG垂直于PM,OH垂直于PN.并做F1D垂直于PM,则PM=a

做F1K垂直于OG,记角OF1K=k,则

DG=F1K=c*cosk

由勾股定理，有

OG^2=OD^2-DG^2=a^2-c^2cos^2k

考虑另一焦点F2,做F2E垂直于PN,F2L垂直于OH.仿上得

OH^2=a^2-c^2sin^2k

进而得到

OP^2=OH^2+OG^2

=a^2+(a^2-c^2)

=a^2+b^2

所以OP=根号(a^2+b^2)

以上过程中的a,b,分别是长短轴半径。

附：蒙日问题画一个圆，使其与三已知圆正交.