省刻度尺
数学常与“最优”概念联在一起，因而“最节省”、“最有效”、……成了数学的一个重要课题。英国数学游戏大师杜登尼（Ｈ．Ｅ．Ｄｕｄｅｎｅｙ，１８５７～１９３０）曾给出这样一个问题：
一根23ｃｍ长的尺子，要求能够度量出1~23任何整数厘米长的物品，至少要几个刻度？我给出的答案是：只须６个刻度。（头尾不用刻）这种尺被称作“省刻度尺”，如下图：
0 1 4 10 16 18 21 23
其实这个答案不是惟一的，还有另一种解答也是６个刻度：
至于它的量法，我们用ａ→ｂ表示自ａ量到ｂ，比如３→８表示可量得５，８→１８表示可量得１０，等等。同时我们也称能量得１～２２整数厘米刻度的度量为“完整度量”。请你按照要求给出下面4个能够完整度量的省刻度尺：
⑴１３ｃｍ４个刻度（如下）：
0 1 4 5 11 13
⑵３６ｃｍ８个刻度（如下）：
0 1 3 6 13 20 27 31 35 36
⑶４０ｃｍ９个刻度（如下）：
0 1 2 3 4 10 17 24 29 35 40
考虑一下你给出的这些结果（刻度数）还能否改进？再请你讨论：
⑴ｎｃｍ长的尺子至少要有多少个刻度才能完成１～ｎｃｍ的完整度量？
⑵有ｋ个刻度的尺子至多能在多大的ｎ范围内完成１～ｎｃｍ的完整度量？
此外，省刻度尺问题还与图形完美标号问题有关。所谓完美标号是指将０～ｋ这ｋ＋１个数字中的某些数填在一些图形的结点处，再将相邻两结点的差的绝对值记在连接两结点的线段上，若这些差的绝对值恰好为１～ｋ，则称该图是完美的，且称标号为完美标号。比如右图便是一个完美标号图。
１９７８年胡迪（Ｃ．Ｈｏｄｅｅ）和库珀尔（Ｈ．Ｋｕｉｐｅｒ）曾证明：所有星轮状的图形皆存
在完美标号。比如下面三个图：
若将“刻度”视为“标号”，“度量”看作“标号之差的绝对值”，则省刻度尺可与完美标号问题“对应”起来（数学上叫同构），比如前面的省刻度尺问题(１)，即：１３ｃｍ尺子４个刻度（注意刻度０与１３虽未标出，但它却是客观存在的），可与右图对应：
如此一来，这两个问题只须研究其一，便可在另一问题中得出同样的结果。如果你有兴趣，不妨将另外两个省刻度尺对应的完美标图也画出来。千万不要只把这看作一种游戏，目前，省刻度尺（库珀尔尺)问题在物理、电子等领域已找到广泛的应用。