无穷递降法

无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为：

假设方程有解，并设X为最小的解。

从X推出一个更小的解Y。

从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。

例子

假设下列方程有正整数解。

<math>a^2+b^2=3 cdot (s^2+t^2),,</math>

设<math>a_1, b_1, s_1, t_1</math>为最小的解。即

<math> a_1^2+b_1^2 = 3 cdot (s_1^2+t_1^2) </math>

显然，<math>a_1</math>和<math>b_1</math>都必须能被3整除。设

<math>3 a_2 = a_1, </math>及<math> 3 b_2 = b_1.,</math>

我们得到

<math> (3 a_2)^2 + (3 b_2)^2 = 3 cdot (s_1^2+t_1^2)</math>

<math> 3(a_2^2+b_2^2) = s_1^2+t_1^2., </math>

这是更小的解，与<math>a_1, b_1, s_1, t_1</math>的最小性相矛盾。所以，原方程无正整数解。