素数的间隔
素数是如何分布的，这一问题一直是人们关注的焦点，也是一直令人困惑的重大课题。
素数的平均分布是反映素数分布的整体趋势的量度，设π(x)表示不超过x的素数个数，所谓素数的平均分布密度就是π(x)/x.1849年德国数学家高斯利用当时已知的素数作了统计分析，得出
π(x)/x≈1/lnx 一
一式表示的就是素数定理，直到1896年法国的数学家哈达马和比利时数学家瓦莱.德拉.普桑各自独立地证明了素数定理。由此定理可知，素数的平均间隔是：
x/ π(x)≈lnx
素数分布的另一个研究热点是确定相邻素数的间隔，设p、q是两个相邻的素数，定义相邻两个素数间的合数的个数g为素数p与q的间隔，显然：g=q-p-1.
最小的间隔是0，是2与3的间隔,只出现一次。
间隔g=1的两个素数称为孪生素数。早在二十世纪初，德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多个，后来的许多证据支持这一猜想。1919年，挪威数学家布隆试图用欧拉曾经证明素数无穷多的方法来证明孪生素数有无穷多个。他将所有素数对都取倒数和：
b=(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+...
如果这个倒数和发散，那么孪生素数就有无穷多个，可是，他计算出这个和是个有限数，所以此路不通。
1922年，英国数学家哈代和李特伍德提出孪生素数分布的一个猜想：
设p(x)表示小于x的孪生素数的个数，那么：
p(x)≈2cx/(lnx)^2
其中c≈0.66016称为孪生素数常数。当x无限增大时，x/(lnx)^2趋于无穷大。因此，哈代-李特伍德
猜想一旦成立，就可以推出兰道猜想。
相邻素数的间隔g,从理论上来说，可以是任意大，要多大有多大，换句话说，有任意多个连续合数。
至今人们知道的最大间隔g=777,为了寻找大间隔，数学家们开展了大量的研究工作。1987年，杨格等人利用CRAY-2型高速计算机，对小于7.263x10^13的所有相邻素数的间隔作了统计，确定了最小的间隔是1，最大是777，一共有359种不同间隔，而1到777的奇数有389个，就是说，还有30种素数间隔没有出现。于是人们更加关心下面一些问题：
1。设k是任一奇数，是否必有两个相邻素数其间隔是k?
2。间隔为k的相邻素数是有限个还是无穷多？
3。如果间隔为k的相邻素数存在，那么怎样找到他们呢？最小的n是多少呢？
对于最后一个问题，美国维斯里安大学的乔治.W.波利茨得到了一些有趣的研究结果。
定理：设p是一个奇素数，不能被3整除，如果p,p+k+1，p+2k+2是三个相邻素数，则k=6t+5,其中t是非负整数，即k=5 mod 6
证明：首先证明k=2 mod 3,由于不能被3整除，所以p+1,p+2中必有一个能被3整除，但是p+k+1,p+2k+2
都是素数，所以k不能被3整除；设k=3m+1,则p+k+1=（p+2)+3m,p+2k+2=(p+2)+3(2m+1)必有一个能被3整除，而这是不可能的，所以k=3m+2,又k是奇数，所以m必是奇数，设m=2t+1，则k=6t+5.证毕。
其实，我们还可以加上一个p+3k+3，因为p不能被3整除，所以p+3k+3=p+3(k+1)也不能被3整除。
下面就来求出一组k=5时的4个相邻素数，设四个相邻素数是p,p+6，p+12,p+18,列出p到p+18之间的所有奇合数：p+2,p+4,p+8,p+10,p+14,p+16,要使它们是合数，可以设p+2=3r,则p+8=(p+2)+6，p+14=(p+2)+12可被3整除，p+3不能被5整除，不然p+18=(p+3)+15就是合数了，所以设p+4=5s,p+3=7t,p+5=11u,
即：p=1 mod 3=1 mod 5=4 mod 7=6 mod 11,由中国剩余定理解出p=2310n+2041,其中n是非负整数， 使p,p+6,p+12,p+18同时为素数的最小 n=6，即：15901，15907，15913，15919。
波利茨进一步证明了上述关于等间隔相邻素数的定理的一般情形：设pi是第i个素数，k为奇数，如果p>pi,则从p开始存在间隔均为k的pi个相邻素数的必要条件是：
k=2*3*5*...pi - 1 (mod 2*3*5*...pi)
或k=2*3*5*...pi*t - 1 (t为正整数）
从这个必要条件出发，有可能构造出间隔为k=2*3*5*...pi*t - 1的pi个相邻素数。例如，前面的定理就是相当于取i=2,pi=3,因而有k=2*3*t - 1=6t-1.再如，取i=3,则pi=5,于是，可找出5个相邻素数，使它们的间隔都是k=2*3*5 - 1 (mod 2*3*5),即k=30m+29 (m为非负整数），例如，取m=0,则k=29,仿照前面求间隔的方法与过程，求出五个相邻素数其间隔都是29：
9843019，9843049，9843079，9843109，9843139。