平方数猜想
可以证明,用同一个数字1,2,3,...,9组成的十进制数,只有1,4,9是完全平方数,换句话说,在11,111,1111,...;22,222,2222,...;
99,999,9999,...;中没有完全平方数.
方法如下：因为完全平方数的个位只能是0，1，4，5，6，9，由此可推出22，222，……，33，333，……，77，777……，88，888……不是完全平方数。
因为完全平方数的个位是奇数时，十位必是偶数，所以11，111，……，55，555……，99，999……不是完全平方数。
完全平方数的个位是偶数时，十位必是奇数，所以66，666，……不是完全平方数。
现在只剩下44，444，……需要证明了。因为444……4=4×111……1，4是完全平方数，所以若111……1是完全平方数，则444……4也是完全平方数，而前面已经证明了，111……1不是完全平方数，所以444……4 也不是完全平方数。
由此可知,除了1,4,9之外,一个完全平方数至少是由两个不同的数字组成的.下面是一些用两个不同数字组成的完全平方数:
25,49,64,81,225,1444,7744,11881,29929,44944,55225,9696996.
希托突玛图(S.Hitotumatu)提出了一个猜想:除了102n,4*102n,9*102n之外,由两个数字组成的完全平方数只有有限个.这个猜想至今未获证明.
一般地,对于k个(2,3,...9)不同数字组成的完全平方数,能做出什么结论呢?我们知道,完全平方数有无穷多个,因此,至少有一个k,由k个不同的数字组成的完全平方数有无穷多个,是哪一个k具有这样的性质呢?