莫利定理

莫利定理（Morley's theorem），也称为莫雷角三分线定理。

将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

该定理以其美妙和证明困难著称。到目前为止，已经有很多证明方法。

英文版证明http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/index.shtml

参考资料给出一种证明方法：设△ABC中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线，三边长为a,b,c,三内角为3α，3β，3γ，则α+β+γ=60°。

在△ABR中，由正弦定理，得AR=csinβ/sin(α+β)。

不失一般性，△ABC外接圆直径为1，则由正弦定理，知c=sin3γ，所以AR=

（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin² γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]=

2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）.

同理,AQ=4sinβsinγsin(60°+β)

在△ARQ中,由余弦定理,得RQ² =16sin² βsin² γ[sin² (60+γ)+sin² (60°+β)-2sin(60°+γ)*sin（60°+β）cosα]=16sin² αsin² βsin² γ.

这是一个关于α，β，γ的对称式，同理可得PQ² ，PR² 有相同的对称性，故PQ=RQ=PR,所以△PQR是正三角形。