欧几里德除法

欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有

d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

欧几里德算法（辗转相除法）求两个数的最大公约数的步骤如下：

先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；

再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；

又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；

这样逐次用后一个数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质数）。

例如求1515和600的最大公约数，

第一次：用600除1515，商2余315；

第二次：用315除600，商1余285；

第三次：用285除315，商1余30；

第四次：用30除285，商9余15；

第五次：用15除30，商2余0。

1515和600的最大公约数是15