棣莫弗公式

复数乘方用三角表示式来解比较简便.

复数r(cosθ+isinθ)的n次方是：

z^n=[r(cosθ+isinθ)]^n=r^n(cosnθ+isinnθ)

n∈N.

复数开方也用三角表示式来解比较简便.

复数r(cosθ+isinθ)的n次方根是：

(n次根号r){cos[(θ+2kπ)/n]+isin[(θ+2kπ)/n]

(k=0,1,2,......). n∈N.

这两条公式叫做棣莫弗公式

证明棣莫弗公式证明:

先引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx

将e^t，sint ， cost 分别展开为泰勒级数：

e^t = 1 + t + t^2/2! + t^3/3! + …… + t^n/n！+ ……

sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……

cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……

将t = ix 代入以上三式 ，可得欧拉公式

应用欧拉公式，（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n

=e^inx

=cos(nx)+isin(nx)

另外一种证法：

根据两复数相乘的公式，设Z=r(cos x+isin x),Z'=r'(cos x'+isin x')

则Z*Z'=rr'(cos (x+x')+isin (x+x'))

令Z=Z'，得Z^2=r^2(cos 2x+isin 2x)

继续用Z乘这个式子，得Z^3=r^2(cos 3x+isin 3x)

最后可以由数学归纳法导出，对于n∈N，Z^n=r^n(cos nx+isin nx)

在三角问题中的应用在r=1时：

（cosx＋isinx）^n = cos(nx)+isin(nx)

有这个公式可以得到一个特别重要的结果。我们可以令n=3为例，此时

（cosx＋isinx）^3 =cos(3x)+isin(3x)

而等式左边根据二项式定理展开得到

（cosx＋isinx）^3 =cos^3 x+3cos^2 x *isinx+3cosx i^2 *sin^2 x+i^3 sin^3 x

=cos^3 x-3cos x sin^2 x+i(3cos^2 x sin x-sin^3 x)

最后根据右边得到

cos^3 x-3cos x sin^2 x+i(3cos^2 x sin x-sin^3 x)=cos(3x)+isin(3x)

这相当于实数间的一对等式，因为复数相等的条件是实部和虚部分别相等，所以

cos(3x)=cos^3 x-3cos x sin^2 x

sin(3x)=3cos^2 x sin x-sin^3 x

再根据式子sin^2 x+cos^2 x=1,代入并整理后得

cos 3x=4cos^3 x-3cos x

sin 3x=-4sin^3 x+3sin x

以此类推，对于n∈N，可以用sin x 和 cos x的幂分别表示sin nx 和cos nx.