论球和圆柱
《论球和圆柱》(On the Sphere and the Cylinder)
希腊数学家、物理学家、天文学家阿基米德著。阿基米德的几何学著作是希腊数学的顶峰。该著作是作者关于几何形的面积和体积方面的几种主要著作之一。由其卷首的序言可知，该著作是作者的《抛物弓形求积》的继续，并先于另外的著作《论螺线》和《论劈锥曲面体与椭球体》。
全篇共分两卷。第一卷开头先给出了6个定义和5个假设。如定义了底为球面的圆锥（扇形圆锥）以及由二圆锥组成的算盘珠形的立体。第一个假设（或公理）是：具有两相同端点的所有（曲）线中以直线为最短。类似地，具有相同边界（边界在一平面上）的所有（曲）面中以平面为最小（假设3）。第五个假设是所谓阿基米德公理：“在不相等的线、面或立体中，累加较大者与较小者的差，总可超过任给一可与之相比的量。”用现代术语表达，即对任意二量A、B，A－B>0，则对任意大的量C，总存在n，使n(A－B)＞C。之后在第一卷中共给出了44个命题，内容涉及圆柱和圆锥的表面积、球的表面积与体积以及球缺与扇形圆锥的体积。如命题13：“任一正圆柱（不计两底面）的表面积等于一圆的面积，该圆的半径是圆柱的高与直径的比例中项。”命题33：“任一球的表面积等于其大圆面积的4倍。”命题34：“任一球的体积等于一圆锥体积的4倍，该圆锥以球的大圆为底，高为球的半径。”该命题的推论是：以球的大圆为底，以球的直径为高的圆柱，其体积是球体积的 ，其包括上下底面在内的表面积是球表面积的 。这就是刻在阿基米德墓碑上的著名定理。其后给出了球缺的表面积公式（命题42,43）。第二卷中讨论了由第一卷中的命题推出的结果（3个命题，6个问题），主要是关于球缺的内容。如命题9：“在所有球缺中，与半球具有相同表面积者体积最大。”作者在前言中谈到了他关于螺线与劈锥曲面体的发现，并准备在以后的著作中叙述。
《论球和圆柱》中的所有结果都以穷竭法进行严格证明，是古代数学严格性的典范。其中关于面积和体积的系统结果充分反映了希腊几何学的高度发展水平，对其后一切关于面积和体积方面的研究产生了深远影响。