纵横图
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纵横图
将从1至n平方的自然数排列成纵横各有个数的正方形，使每行、每列、有时还包括每条主对角线上的 个数的和都等于同一个数m（2m=n立方+n），称这样的排列为阶的纵横图,亦称阶幻方。
中国东汉末年郑玄(129～200)注《易纬·乾凿度》：“太乙取其数以行九宫，四正四维皆合于十五”而得九宫数,即三阶幻方（左图[三阶纵横图]）。西魏北周卢注《礼记·明堂篇》“二九四、七、五、三、六、一、八”有法龟文之说，后周甄鸾注《数术记遗》云：“九宫者，二、四为肩，六、八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”亦与龟文之说暗合。古人在龟甲或骨上用火灼出窝槽，爆见吉祥之兆，有时这种窝槽的排列有了某种特殊的意义，令人惊异，于是成为世代相传的神话。可见，九宫图由来已久。
南宋杨辉《续古摘奇算法》(1275)卷一始有“纵横图”之名，其中给出了三至十阶的幻方及其变体共十三种。杨辉给出的方形纵横图共有十三幅，它们是：洛书数（三阶幻方）一幅，四四图（四阶幻方）两幅，五五图（五阶幻方）两幅，六六图（六阶幻方）两幅，七七图（七阶幻方）两幅，六十四图（八阶幻方）两幅，九九图（九阶幻方）一幅，百子图（十阶幻方）一幅（参见图1-9-3）。其中还给出了“洛书数”和“四四阴图”的构造方法。如“洛书数”的构造方法为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。(
元代安西王府旧址（今西安市郊）曾出土至元十五年(1278)阿拉伯学者扎马鲁丁为安西王推算历法期间所制作的“东阿拉伯系统”数
码的铁制六阶幻方（1956年出土，（见彩图[阿拉伯数学幻方铁板（元代） 陕西安西王府遗址出土]）。上海浦东陆家嘴明嘉靖陆深墓中也发现元代玉质可佩挂的四阶幻方（1980年出土）。
明王文素《算学宝鉴》(1524)载纵横图多种。程大位《算法统宗》(1592)卷十七载纵横图14种，及清方中通《数度衍》(1661)卷首之一“九九图说”后附纵横图14种，与杨辉所著《续古摘奇算法》中所载纵横图大同小异。
张潮 (1650～?)《心斋杂俎》卷下“算法图补”增补纵横图若干种。梅成《增删算法统宗》(1760)淘汰有关河图洛书及纵横图的内容之后，纵横图存在约有一百多年。
清初、传教士传入《三三等数图》列三至十阶纵横图八种，并指出作图方法。英国人傅兰雅主编的《格致汇编》(1878)载有四阶纵横图（图2[四阶纵横图]）,此即1514年A.度勒所刻十六字方图。欧洲研求纵横图造法始自14世纪。中国人杜亚泉(1872～1933)等从1900年起论及纵横图的造法，但多沿用西说。
电子计算机的发展又给它赋予了新的含义，目前它在组合分析、图论、人工智能等各方面都有所应用。美国计算机协会主编的CACM程序汇编中也把纵横图的编造程序收了进去。建筑学家勃拉东发现纵横图的对称性极为丰富，其中有许多美丽的图案，他把这些线条称为“魔线”，可用于轻工业品、封面包装等设计中。
加拿大滑铁卢大学的一位专家发现了它与“拉丁方”的内在联系，由于“拉丁方”在实验设计领域中的无比重要性，从此，纵横图就更加引起了人们的重视。国外出版的《现代代数及其应用》这本专门著作里就把纵横图列为专门题材。
纵横图现在仍然是组合数学研究的课题，广义幻方、幻体、双随机矩阵等都由它推广而来。探讨中国纵横图发展的悠久历程是组合数学前史的重要内容，日益受到国内外数学史界的重视。