桥函数

桥函数是数学术语。

定义：对于给定的函数f（x）和g（x），若存在一个可逆函数（“可逆函数”即存在反函数的函数）φ（x），使得如下等式成立：

f（x）=φ-1(g（φ（x））），

则称f（x）和g（x）关于φ（x）相似，记作 f~φ~g （其中，φ应该写在波浪线上方），其中φ（x）称为桥函数。

桥函数具有如下性质：

1*.若f（x）和g（x）关于φ（x）相似，则g（x）和f（x）关于φ-1（x）相似；

2*.若f（x）和g（x）关于φ（x）相似，g（x）和h（x）关于ψ（x）相似，则f（x）和h（x）关于ψ（φ（x））相似；

3*.若f（x）和g（x）关于φ（x）相似，则f（x）的n次迭代和g（x）的n次迭代关于φ（x）相似，

即fn（x）和gn（x）关于φ（x）相似。

若已知f（x），确定g（x）与φ（x）可以从不动点来考虑。

若f（λ）=λ（λ为某一实数），则称λ是f（x）的一个不动点，若f（x）=φ-1（g（φ（x））），则φ（f（x））=g（φ（x））因而φ（λ）=φ（f（x））=g（φ（λ）），可见φ（λ）是g（x）的不动点，也就是桥函数φ具有下列性质：它将f的不动点λ，映成g的不动点φ（λ），通常为了便于求g（x）的n次迭代，g（x）常取为ax，x+a，ax2（a乘以x的平方），ax3（a乘以x的立方）等等，这时g（x）的不动点为0或∞，此时，若f（x）只有唯一不动点α时，则可考虑取φ（x）=x-α（或（x-α）分之一），这时φ（α）=0（或∞）；若f（x）有两个不动点α、β（α≠β）,则可考虑取φ(x)=(x-α)/(x-β),这里φ(α)=0，φ(β)=∞。