海莱定理

海莱定理（Helly theorem）

在平面上，设M1，M2，……，Mn （1，2 ，……n为下标，下同，n≥3）是凸集，如果其中每三个凸集都有公共点，那么这n个凸集必有公共点。这个结论就是海莱定理。

下面我们证明海莱定理。

证明：我们对凸集的个数n用数学归纳法。

1、当n=3时，命题显然成立。

2、设n=k（k>3）时，命题成立。我们证明命题对于n=k+1成立。即设M1，M2，……，Mk+1为k+1个凸集，其中每三个有公共点，要证明这k+1个凸集有公共点。

由于k个凸集M2，M3，M4，……，Mk，Mk+1中每三个有公共点，根据归纳假设，这k个凸集有公共点A1。同样，设M1，M3，M4……，Mk+1有公共点A2；M1，M2，M4，……，Mk+1有公共点A3；M1，M2，M3，M5，……，Mk+1有公共点A4。

如果A1，A2，A3，A4这四个点中有相同的，比如A1和A2相同，那么A1就是M1，M2，……，Mk+1这k+1个凸集的公共点，命题成立。如果A1，A2，A3，A4这四个点互不相同，考察它们的凸包H。有下面三种情况：

（i）H为凸四边形A1A2A3A4。（如图1）

这时线段A1A3与A2A4相交于一点A，因为A1∈M2，A3∈M2，M2是凸集，所以A∈M2。同理A∈M4，A∈M5，……，A∈Mk+1。又因为A2∈M1，A4∈M1，M2是凸集，所以A∈M1。同理A∈M3。因此A是M1，M2，……，Mk+1这k+1个凸集的公共点。

(ii)H为△A1A2A3。（如图2）

这时因为A1，A2，A3都属于M4，所以△A1A2A3包含于M4，从而由A4∈△A1A2A3，得到A4∈M4。因此A4是M1，M2，……，Mk+1这k+1个凸集的公共点。

（iii）H为一线段A1A2。（如图3）

这时A4∈A1A2，从而A4包含于M4，所以是A4是M1，M2，……，Mk+1这k+1个凸集的公共点。

综上所述就证明了海莱定理。