聚点定理

产生背景牛顿和莱布尼兹创立了微积分，但是当时分析的基础还极其不完善，这导致了第二次数学危机，直接的结果就是大量优秀的数学家投身到了研究实数基础的行列中，这其中相当重要的一部分就是实数的完备性公理，实数的完备性公理包括六条，这六条是等价的，而维尔斯特拉斯聚点定理就是其中的一条。

聚点定义定义1（经典含义）:设S为数轴上的点集,e为定点(它可以属于S,也可以不属于S),若e的任何ε邻域内都含有S中的无穷多个点,则称e为点集S的一个聚点.

定义1'（拓扑含义）:对于点集S,若点e的任何ε邻域内都含有S中的异于e 的点,则称e 为S的一个聚点.

这些定义在数轴上是等价的，即互为充要条件，但是这些定义稍有不同，具体的不同稍后在应用篇中会提及

内容聚点定理(也称为维尔斯特拉斯聚点定理)经典形式:实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点.

聚点定理一般形式：列紧空间的任何序列都含有收敛子列（继而含有聚点，但是这个聚点不一定还在这个空间中）

证明思想对于经典的聚点定理，由于S有界，故肯定可以被闭区间A1=[a，b]包含，然后利用二分的思想，它的两个子区间[a,(a+b)/2],[(a+b)/2,b]必定有一个区间有无穷个点，若不然，[a，b]中只有有限个点，不妨设为A2=[a,(a+b)/2]，继续分下去。。。直到这个区间长度小于ε，这个之中有无穷个点，然后利用区间套定理，这个区间列{An}必有一个聚点

应用作为分析学早期的经典定理之一，维尔斯特拉斯定理成为了分析的基础，是研究实数的几何性质的重要工具，后来，因为它是很多拓扑空间所共有的性质，终于使数学家修正了聚点的原始定义，赋予它拓扑含义，进而建立了列紧性的概念，所谓列紧性就是指：对于距离空间X中的集合M，M的任何序列都含有一个收敛的子序列（这个子序列的极限未必还在M中），列紧性成为衡量距离空间“好坏”的一个重要标准，是研究距离空间的重要几何概念，维尔斯特拉斯聚点定理的推广也可以称为数学定理公理化的一次完美的实践。