法图引理

在测度论中，法图引理说明了一个函数列的下极限的积分（在勒贝格意义上）和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家皮埃尔·法图（Pierre Fatou），被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。

叙述设为一个测度空间， 是一个实值的可测正值函数列。那么：

其中的函数极限是在逐点收敛的意义上的极限，函数的取值和积分可以是无穷大。

证明定理的证明基于单调收敛定理（非常容易证明）。设为函数列 的下极限。对每个正整数k，逐点定义下极限函数：

于是函数列g1,g2, . . .单调递增并趋于 。

任意k≤n，我们有gk≤fn，因此

于是

据此，由单调收敛定理以及下极限的定义，就有：

反向法图引理令为测度空间(S,Σ,μ)中的一列可测函数，函数的至于为扩展实数（包括无穷大）。如果存在一个在S上可积的正值函数g，使得对所有的n都有，那么

这里只需弱可积，即<IMG class=tex alt="extstyleint_S g,dmu。

证明：对函数列应用法图引理即可。

推广

推广到任意实值函数法图引理不仅对取正值的函数列成立，在一定限制条件下，可以扩展到任意的实值函数。令为测度空间(S,Σ,μ)中的一列可测函数，函数的至于为扩展实数（包括无穷大）。如果存在一个在S上可积的正值函数g，使得对所有的n都有，那么

证明：对函数列应用法图引理即可。

逐点收敛在以上的条件下，如果函数列在S上μ-几乎处处逐点收敛到一个函数，那么

证明：是函数烈的极限，因此自然是下极限。此外，零测集上的差异对于积分值没有影响。

依测度收敛如果函数列在S上依测度收敛到，那么上面的命题仍然成立。

证明：存在的一个子列使得

这个子列仍然依测度收敛到，于是又存在这个子列的一个子列在S上μ-几乎处处逐点收敛到，于是命题成立。

是下极限。此外，零测集上的差异对于积分值没有影响。