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极限

王朝百科·作者佚名  2009-10-24  
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极限

在高等数学中,极限是一个重要的概念。

极限可分为数列极限和函数极限,分别定义如下。

首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆,在只知道直边形的面积计算方法的情况下,要计算其面积。为此,他先作圆的内接正六边形,其面积记为A1,再作内接正十二边形,其面积记为A2,内接二十四边形的面积记为A3,如此将边数加倍,当n无限增大时,An无限接近于圆面积,他计算到3072=6*2的9次方边形,利用不等式An+1<A<An+2[(An+1)-An](n=1,2,3....)得到圆周率=3927/1250约等于3.1416

数列极限:

定义:设|Xn|为一数列,如果存在常数a对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式

|Xn - a|<ε

都成立,那么就成常数a是数列|Xn|的极限,或称数列|Xn|收敛于a。记为lim Xn = a 或Xn→a(n→∞)

数列极限的性质:

1.唯一性:若数列的极限存在,则极限值是唯一的;

2.改变数列的有限项,不改变数列的极限。

几个常用数列的极限:

an=c 常数列 极限为c

an=1/n 极限为0

an=x^n 绝对值x小于1 极限为0

函数极限的专业定义:

设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ ,使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时,对应的函数值f(x)都满足不等式:

|f(x)-A|<ε

那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。

函数极限的通俗定义:

1、设函数y=f(x)在(a,+∞)内有定义,如果当x→+∽时,函数f(x)无限接近一个确定的常数A,则称A为当x趋于+∞时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A ,x→+∞。

2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义,当x无限趋近a时(记作x→a),函数值无限接近一个确定的常数A,则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A ,x→a。

函数的左右极限:

1:如果当x从点x=x0的左侧(即x〈x0)无限趋近于x0时,函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限,记作x→x0-limf(x)=a.

2:如果当x从点x=x0右侧(即x>x0)无限趋近于点x0时,函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限,记作x→x0+limf(x)=a.

注:若一个函数在x(0)上的左右极限不同则此函数在x(0)上不存在极限

注:一个函数是否在x(0)处存在极限,与它在x=x(0)处是否有定义无关,只要求y=f(x)在x(0)近旁有定义即可。

函数极限的性质:

极限的运算法则(或称有关公式):

lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)

lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)

lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)

lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等于0 )

lim(f(x))^n=(limf(x))^n

以上limf(x) limg(x)都存在时才成立

lim(1+1/x)^x =e

x→∞

无穷大与无穷小:

一个数列(极限)无限趋近于0,它就是一个无穷小数列(极限)。

无穷大数列和无穷小数列成倒数。

两个重要极限:

1、lim sin(x)/x =1 ,x→0

2、lim (1 + 1/x)^x =e ,x→∞ (e≈2.7182818...,无理数)

========================================================================

举两个例子说明一下

一、0.999999……=1?

(以下一段不作证明,只助理解——原因:小数的加法的第一步就是对齐数位,即要知道具体哪一位加哪一位才可操作,下文中0.33333……的加法使用小数点与小数点对齐并不可以保证以上标准,所以对于无限小数并不能做加法。既然不可做加法,就无乘法可言了。)

谁都知道1/3=0.333333……,而两边同时乘以3就得到1=0.999999……,可就是看着别扭,因为左边是一个“有限”的数,右边是“无限”的数。

10×0.999999…… —1×0.999999……=9=9×0.999999……

∴0.999999……=1

二、“无理数”算是什么数?

我们知道,形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的,它的每一位都只有在不停计算之后才能确定,且无穷无尽,这种没完没了的数,大大违背人们的思维习惯。

结合上面的一些困难,人们迫切需要一种思想方法,来界定和研究这种“没完没了”的数,这就产生了数列极限的思想。

类似的根源还在物理中(实际上,从科学发展的历程来看,哲学才是真正的发展动力,但物理起到了无比推动作用),比如瞬时速度的问题。我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示,若时间差趋于零,则此比值就是某时刻的瞬时速度,这就产生了一个问题:趋于无限小的时间差与位移差求比值,就是0÷0,这有意义吗(这个意义是指“分析”意义,因为几何意义颇为直观,就是该点切线斜率)?这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释,极限的思想呼之欲出。

真正现代意义上的极限定义,一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的,他当时是一位中学数学教师,这对我们今天中学教师界而言,不能不说是意味深长的。

几个常用数列的极限

an=c 常数列 极限为c

an=1/n 极限为0

an=x^n 绝对值x小于1 极限为0

关于家教.极限....彭格列家族晴之守护者笹川了平的口头禅.一个时时刻刻都很极限的男人.

 
 
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