多项分布

多项分布

multinomial distribution

把二项分布公式再推广，就得到了多项分布（在一般概率书中很少介绍它，但是热力学中涉及到它）。

某随机实验如果有k个可能结局A1，A2，…，Ak，它们的概率分布分别是p1，p2，…，pk，那么在N次采样的总结果中，A1出现n1次，A2出现n2次，…，Ak出现nk次的这种事件的出现概率P有下面公式：

这就是多项分布的概率公式。把它称为多项式分布显然是因为它是一种特殊的多项式展开式的通项。

我们知道，在代数学里当k个变量的和的N次方的展开式 (p1+p2+…+pk)是一个多项式，其一般项就是前面的公式给出的值。如果这k个变量恰好是可能有的各种结局的出现概率，那么，由于这些概率的合计值对应一个必然事件的概率。而必然事件的概率等于1，于是上面的多项式就变成了

(p1+p2+…+pk) =1=1

即此时多项式的值等于1。

因为(p1+p2+…+pk)的值等于1。我们也就认为它代表了一个必然事件进行了N次抽样的概率（=1，必然事件）。而当把这个多项式可以展开成很多项时，这些项的合计值等于1提示我们这些项是一些互不相容的事件（N次抽样得到的）的对应概率。即多项式展开式的每一项都是一个特殊的事件的出现概率。于是我们把展开式的通项作为A1出现n1次，A2出现n2次，…，Ak出现nk次的这种事件的出现概率。这样就得到了前面的公式。

如果各个单独事件的出现概率p1，p2，…，pk都相等，即p1=p2=…=pk=p（注意这里是小写的p），

注意到p1+p2+…+pk=1，就得到p1= p2 =…=pk=p=1/k。

把这个值代入多项式的展开式，就使展开式的各个项的合计值满足下式：

∑[N!/(n1!n2!…nk!)](1/k)=1

即∑[N!/(n1!n2!…nk!)]=k

以上求和中遍及各个ni的一切可能取的正整数值，但是要求各个ni的合计值等于N。 即

n1+n2+…nk=N