连通性
连通性
连通性是点集拓扑学中的基本概念。
其定义如下：
称拓扑空间X为连通的，若X中除了空集和X本身外没有别的既开又闭子集。
【几个等价的定义】：
1. 称拓扑空间X连通，若X不能表示成两个非空不交开集的并。
2. 称拓扑空间X连通，若当它分成两个非空子集的并A∪B时，有A交B的闭包非空，或B交A的闭包非空。
【子空间的连通】
拓扑空间X的子集E称为连通的，若E作为X的子空间在诱导拓扑下是连通的。
【连通的性质】
1. 实数集的子集是连通的，当且仅当它是一个区间
2. 连通性由同胚保持，从而是空间的拓扑性质
3. 设Ω是X的一族子集，它们的并是整个空间X，每个Ω中的成员连通，且两两不分离（即任意两个集合的闭包有非空交），则X连通
4. 若X,Y连通，则乘积空间X×Y连通
【相关概念】
1. 道路连通：
称X为道路连通的，若任取X中的两点x,y，有连接x,y的道路
2. 局部道路连通
称X为局部道路连通的，若对任意X中的点x,x的仁一领域U包含x的一个道路连通领域V
3. 局部连通
称X为局部连通的，若对任意X中的点x,x的仁一领域U包含x的一个连通领域V
道路连通空间一定是连通的，反之不然。
道路连通与局部道路连通之间没有必然联系。
连通与局部连通之间没有必然联系。