二项式系数
在数学里，二项式系数，或组合数，是定义为形如(1 +x)的二项式n次幂展开后x的系数（其中n为自然数，k为整数），通常记为。从定义可看出二项式系数的值为整数。
一般二项式x+y的幂可用二项式系数记为
。 广义二项式定理把这结果推广至负数或非整数次幂，此时右式则不再是多项式，而是无穷级数。
二项式系数对组合数学很重要，因它的意义是从n件物件中，不分先后地选取k件的方法总数，因此也叫做组合数。因此它有其他记法：两种不相容的记法和，还有Ck、nCk和C(n,k)，其中C表示组合的数目，读作“n选k”。从定义出发，把n个1+x项的乘积展开，其中任意k项的x和n−k项的1相乘得出一个x，故此x的系数是从n个选取k个的方法总数。把各项的x标记可以更清楚看出：当n=4,k=2时，
(1 +x1)(1 +x2)(1 +x3)(1 +x4) = ... +x1x2 +x1x3 +x1x4 +x2x3 +x2x4 +x3x4 + ...， 所以x的系数6等于从4项物件选取2项的方法总数。
二项式系数的值有公式：
若
否则
（其中n!表自然数n的阶乘）。二项式系数是帕斯卡三角形的第n+1行从左起第k+1个数，它最先由杨辉发现。
二项式系数符合等式：
， ， 可以由其公式证出，也可以从其在组合数学的意义推导出来。如第一式左项表示从n+1件选取k件的方法数，这些方法可分为没有选取第n+1件，即是从其余n件选取k件；和有选取第n+1件，即是从其余n件选取k−1件。而第二式则是每个从n件选取k件的方法，也可看为选取其余n−k件的方法。