变进制数
常进制数在我们的学习、生活中常进制数的应用非常广泛。例如：十进制数、二进制数等等。实际上他们是以一个固定的整数作为进位值的。一般的，r 进制数就是每个位置满r 进一。设有r 进制数An,An-1,An-2,...,A1，其中0=< Ai<= r-1, 1<=i<=n，i位置的权重Pi=r^(i-1)。其对应的数值K 计算方法为：
K = ΣAi*Pi= An*Pn+An-1*Pn-1+...+A1*P1
变进制数推广的，我们不一定要用固定的数值作为进位值，设有正整数序列B1,B2,...,Bn,...，其中Bi>=2，我们就可以把它当作各个位置上的进位值，即第i个位置满Bi进一，添加B0=1，则权重Pi=B0*B1*...*Bi-1,i>=1，变进制数An,An-1,An-2,...,A1，其中0=< Ai<= Bi-1, 1<= i <=n，其数值的计算方法仍然是上述K 的公式。 实际上，我们日常生活中有很多变进制数，比如时间的描述“1年9个月8天6小时6分30秒”，假定1年有12个月，1个月30天。
阶乘数系最特殊、最简单的变进制数，就是取Bi=i+1,i>=1，则Pi=1*2*...*(i-1)*i =i!，其权重恰好是整数的阶乘，因而被称为阶乘数。阶乘数第i个位置最大数值是i。
例，4位的最大阶乘数是4321，为了区分其他进制，这里用字母f作为下标：(4321)_f ，则：
(4321)_f = 4*4!+3*3!+2*2!+1*1! = 119 = 120-1 = 5!-1 =(10000)_f -1
上式在10进制中相当于：9999 = 9*10^3+9*10^2+9*10+9*1 = 10000-1
我在2006年探讨全排列的排序问题时也独立的发现变进制数和阶乘数系，后来在一本数值计算的书上看到了这个概念，估计这个概念应该出现很久了，因为不常用而被忽视。
全排列和阶乘数系关系我们知道n个不同的元素有n!个排列，我们这里考虑数字1,2,...,n的排列。现在我们要给他们一个排序方法，也即是找到他们和自然数列0,1, 2, ..., n!-1 的一个对应，习惯上的，我们按照排列逆序的程度来排序。我们来逐一考虑，n=1时，只有1中排列，n=2时，我们要把2和1排在一起，则2可以排在1的后面或前面，有两种选择，当n=3时，1和2两个数字有三个空可以插入数字3，而3选定一个位置时，1和2又有2!种排列，我们可以这样，数字3每变动一次（从后向前移），小于它的所有数就轮换了一个周期（全排列）。这6个排列顺序如下：
(数字3在第3个位置)123, 213, (数字3在前移了1位)132, 231, (数字3又前移了1位)312, 321
数字3每前移一个位置，就经过了2!个排列。
一般的，按照这个方法，我们就可以把n!个排列排出来，在这种排列方法中，我们发现数字i 每前移一次，就经过了(i-1)! 个排列，也就是说“数字i 的位置的权重是(i-1)! ”，而i 移动的次数取决与在该排列中数字i 右侧小于i 的数字的个数（逆序）。
例：有排列 35241 ，我们从数字2开始看，2右侧有1个比它小的数字，数字3右侧有2个，数字4右侧有1个，数字5右侧有3个，我们将这些逆序数倒着写下来是：3,1,2,1，则该序列在我们这种排序方法中的位置序号是：
3*(5-1)!+1*(4-1)!+2*(3-1)!+1*(2-1)! = 3*4!+1*3!+2*2!+1*1! = 83 注意，排序是从0开始计数的。
我们就发现一个排列的逆序数组成的数列恰好是一个阶乘数，此例中就是(3121)_f 。特殊的排列1234...n 对应的是(0, 0,..., 0)_f = 0 即是第一个，n(n-1)...21对应的是(n-1, n-2, ..., 2, 1)_f = n!-1，即是最后一个，完全符合我们的排序意图。该阶乘数各个位置数字的和就是原排列的总的逆序数。多提一点，鉴于这种逆序数列和阶乘数的关系，我希望几年后，组合数学书上的逆序数列可以修改成我这里的定义方式：数字i 右侧小于i 的数字的个数。而不是：i 左侧大于i 的数字的个数。当然，大多数意义下两者是等效的。
综上所述：n个元素的全排列可以和n-1位的阶乘数一一对应起来。
阶乘数系的小数推广和负数的阶乘进一步考虑，我们可以扩展出阶乘数系的小数计数法。实际上我们的任务是去划分单位1，与整数计数法相似，可以定义一个大于等于2的整数列C1,C2,...,Cn,...作为划分的等分数，这里就不做阐述了，我们这里一种特殊的扩展方法：对称扩展法，即令Ci=Bi,i>=1。对比常进制数的小数计数法，小数实际上是每次把当前长度10等分，于是，在阶乘数的计数法中Ci=Bi=i+1 ,i>=1，我们最初我们将单位1进行2等分，再对每一份（长度是1/2）进行3等分（变成了1/6），如此下去，无穷的划分。于是，第i 次划分后，每一份的长度是1/(i+1)!, 这即是对称扩展后小数点后第i位置的权重，第i个位小数的最大数值是i。小数点后第i位置的权重P-i= 1/(i+1)! ,i>=0。
例如：最大的4位小数是(0.1234)_f , (0.1234)_f = 1/2!+2/3!+3/4!+4/5! = 119/120 = 0.991666666.....
至此，阶乘数的小数系统也构造完毕。并且，我们可以得出一个有趣的级数：
Σn/(n+1)! = 1 , 其中Σ是对n是从1到正无穷求和。 他的意义很明确，就是(0.123456......)_f = 1，正如十进制中的0.999999......=1一样。
大胆的，鉴于上述小数和整数权重表示的统一，我们可以定义负数的阶乘：
(-n)! = 1/(n+1)! , 其中n>=0。
这里我们发现，0!是符合这个公式的：0!=1/1!=1。则阶乘数系第i 位置的权重Pi=i! ,i是任意整数。对于整阶乘数，实际上在最低位置右边还有一个“隐藏位置”，该位置的数值只能是0，权重是0!=1，因而无计数意义，我们可以把它想象成小数点，小数点右边就是小数系统，很完美的合在一起：
(n,n-1,...21.123456......)_f = (n+1)! , 对应十进制是9999.9999...=10000。
说明：这里负数的阶乘的定义是根据对称扩展而来，能够吻合0的阶乘且能够完善阶乘数系的表示，暂时没有发现它对其它组合公式有什么扩展贡献。