有限单群分类定理
有限单群分类问题概述有限单群是指：除了单位元群和它本身以外没有其他正规子群的有限群。有限单群类似于整数中的素数，可比喻为搭成有限群的”积木块“，是有限群结构的基石。
找出所有的有限单群的问题称为有限单群分类问题。
该问题的解决是代数学里的一个巨大的工程。有关的文章大多发表于1955年至1983年之间，目的在于将所有的有限简单群都给清楚地分类。这项工程总计约有100位作者在500篇期刊文章中写下了上万页的文字。
有限单群分类定理的基本内容全部的有限单群是：
(Ⅰ)素数阶循环群;
(Ⅱ)n≥5的交错群An;
(Ⅲ)Lie型单群(共16族);
(Ⅳ)26个散在单群。
此一定理在数学的许多分支都有着广泛的应用，有关有限群的问题通常可以归并至有关有限简单群的问题上，再依此一分类即可将问题限于有限个例子的列举。
有限单群分类的历史20世纪初,W.伯恩赛德关于pqъ阶群(p、是素数)必是可解群的定理，是有限单群分类问题早期最重要的工作。它说明非交换有限单群的阶至少有三个不同的素数。
有限单群分类定理是在20世纪40年代初提出的。R.Brauer是有限单群分类工作的先驱，三四十年代之交，他开始利用他所创造的模特征标理论来研究有限单群问题，在这期间，段学复随R.Brauer研究了阶含素数p仅为一次的群及其模特征标,1942年,他们一起完成了10000阶以下的单群分类。1945年合写了“论有限单群”的论文。他们的一些结果至今还被人引用，有的得到推广。1954年R.Brauer又证明了关于对合的中心化子的定理，即设τ是偶阶单群G的一个对合即二阶元素，CG(τ)是其中心化子，则。于是，从已知偶阶单群的对合的中心化子出发，最多构造出有限多个单群。可用这结果去发现和构造一些新单群，许多零散单群就是这样发现的；更重要的是可以用中心化子来刻划群的构造，用于单群分类。这一定理标志了单群分类的新起点，而被称之为Brauer纲领。
1962年，W.费特和汤普森关于奇阶群必为可解群的定理（Feit-Thompson定理）是单群分类中最重要的一个定理，它标志着有限单群分类的重大突破,也是第一篇长文章(225页之多)。汤普森在文中初步建立并运用了p局部子群分析法,其后于1968～1974年间，他在关于极小单群（即所有真子群皆为可解群）及更一般的单N群（即所有p局部子群皆为可解群）的分类定理的证明中，完善了p局部子群分析法。
1972年，D.戈朗斯坦提出的有限单群分类方案或计划，指出了如何才能实现有限单群的完全分类。虽然这个计划在后来作了某些修改，但是此后美、英、德、日等国的群论学家自发地组织起来按计划去攻克这个大问题，终于以10年左右的时间取得了数学史上的这项重大的成果。
有限单群分类问题的解决对有关问题的影响非常深远，有些长期存在的群论问题已经由于它的解决而解决或可以解决。例如，①O.施赖埃尔猜想有限单群的外自同构群是可解的。②有限单群皆可由两个元素生成；有限非交换单群的元素皆为换位子。③除Sn和An外，不存在k≥6重传递置换群；所有双重传递群已被决定；所有素数p次置换群已知。
下述有限单群问题正在被研究并取得进展：①整理和简化有限单群分类问题的全部论证。②研究F1和模函数的关系，进而研究哪些单群能作为有理数域上的伽罗瓦群。③用分类的结果去解决群论以及其他的数学问题，这种应用正迅速增加。④进一步计算有限单群的常、模特征标和子群等。
对证明仍有的怀疑有限单群分类定理由500多篇论文组成。在该定理的最后证明中起重要作用的Aschbacher评论道：
“一方面，当证明长度增加时，错误的概率也增加了。在分类定理中出现错误的概率实际上是1。但是另一方面，任何单个错误不能被容易地改正的概率是0。随着时间的推移，我们将会有机会推敲证明，对他的信任度必定会增加。”
因为发表出来的文章的长度及复杂度和实际上有些假设的证明还没有被发表出来，有些人依然对这些文章能否对此定理提供一个完整且正确的证明有所怀疑。让-皮埃尔·塞尔即为对其证明提出怀疑的人之中很有名的一位。这些怀疑被证实是证明中的空白，这些空间都在之后被找了出来且最终被填补了起来。
经过了一个年代的时间，专家们查觉到了一个“严重的空白”（由麦克·亚许巴赫所发现），在Geoff Mason（未发表地）对准薄群的分类上。葛仑斯坦（Gorenstein）在1983年宣称已完成有限简单群的分类，部份基于对准薄群方面的证明已完成的认知上。亚许巴赫在1990年代早期将此一空白填补起来。亚许巴赫和史蒂芬·史密斯发表了两册约有1300页的不同证明。
二代分类因为有限简单群分类的证明真的实在是太长了，所有有许多被称做“修正”的工作，原本由丹尼尔·葛仑斯坦所领导，在找寻着一个更简单的证明。这即是所谓的二代分类证明。
直到2005年，已有六册被发表了出来，其他还有许多的原稿存在。亚许巴赫和史密斯的两册提供了可以作用在一代和二代证明上有关准薄群方面的一个证明。预计当新的证明完成之后将会有大约5000页的页数。（需注意的是，较新的证明会以较丰富的形式写出。）
葛仑斯坦和其同事给出了一些对于较简单的证明是可能达成的理由。其中最重要的一点是因为现在已经知道了正确且最终的叙述，而所能应用的技术也已足够用来研究这些群。相反地，在原本的证明里，没有人知道到底有多少个散在群，且实际上有些散在群还是在试图证明分类定理的过程中被发现出来的，如詹柯群，以致于应用了些过份一般的技术。
而且，也因为不知道结论是什么，甚至有很长的一段时间是令人觉得不可信的，所以原本的证明中有含有许多个单独的完整定理，分类了一些重要的特例。这些定理为了达成其自身的最终叙述，必须要去分析数个特例。通常，大多数的工作都是在做这些例外的事情。做为一个较大且协调的证明之一部份，这些许多特例都是可以不需要去理会的，当更强的假设被加上来时即可得到。因此而得到的收获即为，原本的定理在修正后就不再会有那么较小的证明了，但还是会有一个完整的分类。
不再有那些需要去理会例子的再细分才有效的单独定理。多个目标的群因此都会有多重的等价。修正后的证明会依靠著不同例子的细分来减少其多余的部份。
最后，有限群论学家将会有更多的经验和更新的技术。
散在群散在群中的其中五个是在1860年代中由马提厄（Mathieu）所发现的，而其他的21个则是在1965年至1975年之间被找出来的。有一些此类的群在它们被建构出来前曾被预测其会存在。大多数此类的群是以第一个预测出其存在之数学家来命名的。其完整的列表如下：
马提厄群M11、M12、M22、M23、M24 詹柯群J1、J2(HJ)、J3(HJM)、J4 康威群Co1、Co2、Co3 费歇尔群Fi22、Fi23、Fi24(Fi24′) 希格曼-西姆斯群HS麦克劳林群McL赫尔得群He(F7) 路多里斯群Ru铃木散在群Suz欧南群O'N原田-诺顿群HN(F5) 里昂群Ly汤普森群Th(F3) 子怪兽群B(F2) 怪兽群M(F1) 对于所有散在群在有限体上的矩阵表示除了怪兽群之外都已经被算出来了。最大的零散单群为F1，名为怪物群或魔群，它的阶为 2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·41·47·59·71,约为10。G.格里斯用手算,从47·59·71=196883维的线性表示而得到F1。它有着良好的内在的几何结构，并且有20个左右的零散单群作为它的子群，所以并不是什么怪物，G.格里斯改称它为“友好巨人”。其他6个为J1、J3、J4、O'N、Ru和Ly。这6个群有时会被称为贱民(pariahs)。
直至目前为止，对散在群的一个可信的统一叙述方面的进展还是很少。
参考文献１.Michael Aschbacher,The Status of the Classification of the Finite Simple Groups[3], 2004年8月美国数学学会上的介绍
２.Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald SolomonThe Classification of the Finite Simple Groups（volume 1），AMS, 1994 （volume 2），AMS,
３.Ron Solomon:On Finite Simple Groups and their Classification[4], 1995年美国数学学会上的介绍
４.Conway, J. H.; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; and Wilson, R. A.: "Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups." Oxford, England 1985。
５.Orders of non abelian simple groups[1]：包含上至一千亿目的所有非可换简单群之列表
６.Atlas of Finite Group Representations[2]：包含包括散在群在内的许多有限简单群的表示及他资料