交轨法

解析几何中求动点轨迹方程的常用方法。

选择适当的参数表示两动曲线的方程，将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。例题Ⅰ.已知过抛物线Y^2=4X的焦点F的直线交抛物线于AB两点 过原点O作OM⊥AB 垂足为M 求点M轨迹方程。

解：设直线AB的方程y=k(x-1)①

则直线OM的方程可写成y=-x/k②

两式相乘消去k 得y^2=-x(x-1)

即点M的轨迹方程为(x-1/2)^2+y^2=1/4

Ⅱ.已知直线与抛物线y^2=2px(p>0)交于A、B两点，且OA⊥OB。求O在AB上射影M的轨迹方程。

解：设kOA=k kOB=-1/k

则A(2P/k^2,2P/k) B(2Pk^2,-2Pk)

kAB=k/(1-k^2)

AB：y+2Pk=[k/(1-k^2)](x-2Pk^2)

即y=[k/(1-k^2)](x-2P)

∴AB经过定点(2P,0)

AB：y+2Pk=[k/(1-k^2)](x-2Pk^2)①

OM：y=[-(1-k^2)/k]② ==>k^2x=x+ky③

两式相乘 y(y+2Pk)=-x(x-2Pk^2)

即x^2+y^2-2Pk^2x+2Pky=0

代人③ 得x^2+y^2-2Px=0 即(x-P)^2+y^2=P^2 (x≠0)