拉普拉斯算子

定义拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（）的散度（）。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：

(1)f的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数：

(2) 作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把C函数映射到C函数，对于k≥ 2。表达式(1)（或(2)）定义了一个算子Δ :C(R) →C(R)，或更一般地，定义了一个算子Δ :C(Ω) →C(Ω)，对于任何开集Ω。

函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹：

坐标表示式二维空间

其中x与y代表 x-y 平面上的笛卡儿坐标另外极坐标的表示法为：

三维空间

笛卡儿坐标系下的表示法圆柱坐标系下的表示法球坐标系下的表示法

N 维空间

在参数方程为（其中以及）的N维球坐标系中，拉普拉斯算子为：

其中是N− 1维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把的项写成。

恒等式如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：f是径向函数f(r)且g是球谐函数Ylm(θ,φ)，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。f(r)的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此：

球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：

因此：

推广拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里德空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。

在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子：

达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-高登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。

拉普拉斯-贝尔特拉米算子

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拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯-贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子）。

另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯-德拉姆算子，它运行于微分形式。这便可以通过Weitzenböck恒等式来与拉普拉斯-贝尔特拉米算子联系起来。

参考文献Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M（1970）．“Chapter 12: Electrostatic Analogs”，The Feynman Lectures on Physics．Addison-Wesley-Longman． Gilbarg, D and Trudinger, N（2001）．Elliptic partial differential equations of second order．Springer．ISBN 978-3540411604． Schey, H. M.（1996）．Div, grad, curl, and all that．W W Norton & Company．ISBN 978-0393969979．