商群
在数学中，给定一个群 G 和 G 的正规子群N，G 在 N 上的商群或因子群，在直觉上是把正规子群 N“萎缩”为单位元的群。商群写为 G/N 并念作 G mod N (mod 是模的简写)。如果 N 不是正规子群，商仍可得到，但结果将不是群，而是齐次空间。
群的子集的乘积在随后的讨论中，我们将使用在 G 的子集上的二元运算: 如果给出 G 的两个子集 S 和 T，我们定义它们的乘积为 ST = { st : s∈S 并且 t∈T }。这个运算是符合结合律的并有单位元为单元素集合 ，这里的 e 是 G 的单位元。因此，G 的所有子集的集合形成了在这个运算下的幺半群。
凭借这个运算我们可以首先解释商群是什么，并接着解释正规子群是什么:
群 G 的商群是其自身在这个运算下的群 G 的划分。
它完全由包含 e 的子集所确定。G 的正规子群是在任何这种划分中包含 e 的集合。在划分中的子集是这个正规子群的陪集。
群 G 的子群 N 是正规子群，当且仅当陪集等式 aN = Na 对于所有 G 中的 a 都成立。依据上述定义的在子集上的二元运算，G 的正规其群是交换于 G 的所有子集的子群，并指示为 N ⊲ G。 置换于 G 的所有子群的子群叫做可置换子群。
定义设 N 是群 G 的正规子群。我们定义集合 G/N 是 N 在 G 中的所有左陪集的集合，就是说 G/N = { aN : a∈G }。在 G/N 上的群运算定义如上。换句话说，对于每个 G/N 中 aN 和 bN，aN 和 bN 的乘积是 (aN)(bN)。这个运算是闭合的，因为 (aN)(bN) 实际上是左陪集:
(aN)(bN) = a(Nb)N = a(bN)N = (ab)NN = (ab)N。
N 的正规性被用在了这个等式中。因为 N 的正规性，N 在 G 中的左陪集和右陪集是相等的，所以 G/N 也可以定义为 N 在 G 中所有的右陪集的集合。因为运算是从 G 的子集的乘积得出的，这个运算是良好定义的(不依赖于表示的特定选择)，符合结合律的，并有单位元 N。G/N 的元素 aN 的逆元是 a−1N。
定义的动机G/N 叫做商群的理由来自整数的除法。在 12 除以 3 的时候得到答案 4 是因为我们可以把 12 个对象重现分组为 3 个对象的 4 个子搜集。商群出于同样想法，但用一个群作为最终答案而非一个数，因为群要比对象的随机搜集要更有结构。
更细致的说，在查看 G/N 而 N 是 G 的正规子群的时候，这个群结构形成一种自然“重新分组”。它们是 N 在 G 中陪集。 因为我们从一个群和正规子群得到的最终的商包含比只是陪集的(正常除法所产生的)数目要更多的信息，这里得到了一个群结构自身。
例子考虑整数集 Z (在加法下)的群和所有偶数构成的子群 2Z。这是个正规子群，因为 Z 是阿贝尔群。只有两个陪集: 偶数的集合和奇数的集合；因此商群 Z/2Z 是两个元素的循环群。这个商群同构于集合 { 0, 1 } 带有模 2 加法运算的群；非正式的说，有时称 Z/2Z 等于集合 { 0, 1 } 带有模 2 加法。
上个例子的稍微一般化。再次考虑整数集 Z 在加法下的群。设 n 是任何正整数。我们考虑由 n 的所有倍数构成的 Z 的子群 nZ。nZ 在 Z 中还是正规子群因为 Z 是阿贝尔群。陪集们是搜集 {nZ,1+nZ,...,(n−2)+nZ,(n−1)+nZ}。整数 k 属于陪集 r+nZ，这里的 r 是 k 除以 n 的馀数。商 Z/nZ 可以被认为模以 n 的“馀数”的群。这是个 n 阶循环群。
N 在 G 中的陪集考虑复数十二次单位一的根的乘法阿贝尔群 G，它们是在单位圆上的点，它们在右图中展示为着色的球并在每点上用数标记出它们的幅角。考虑它由单位一的四次根构成的子群 N，在图中表示为红色球。这个正规子群把群分解为三个陪集，分别表示为红色、绿色和蓝色。你可以验证这些陪集形成了三个元素的群(红色元素和蓝色元素的乘积是蓝色元素，蓝色元素的逆元是绿色元素等等)。因此商群 G/N 是三种颜色元素的群，它又是三个元素的循环群。
考虑实数集 R 在加法下的群，和整数集子群 Z。Z 在 R 中的陪集们是形如 a + Z 的所有集合，这里 0 ≤ a < 1 是实数。这种陪集的加法是通过做相应的实数的加法，并在结果大于或等于 1 的时候减去 1 完成的。商群 R/Z 同构于圆群 S1，它是绝对值为 1 的复数在乘法下的群，或者说关于原点的二维旋转的群，也就是特殊正交群 SO(2)。有一个同构给出为 f(a + Z) = exp(2πia) (参见欧拉恒等式)。
如果 G 是可逆的 3 × 3 实数矩阵的群，而 N 是带有行列式为 1 的 3 × 3 实数矩阵的子群，那么 N 在 G 中是正规子群(因为它是行列式同态的核)。N 的陪集们是带有给定行列式的矩阵的集合们，因此 G/N 同构于非零实数的乘法群。
考虑阿贝尔群 Z4 = Z/4Z (也就是集合 { 0, 1, 2, 3 } 带有加法模 4)，和它的子群 { 0, 2 }。商群 Z4 / { 0, 2 } 是 { { 0, 2 }, { 1, 3 } }。这是带有单位元 { 0, 2 } 的群，群运算如 { 0, 2 } + { 1, 3 } = { 1, 3 }。子群 { 0, 2 } 和商群 { { 0, 2 }, { 1, 3 } } 同构于 Z2。
考虑乘法群 。第 n 个馀数的集合 N 是 的 ϕ(n) 阶乘法子群。则 N 在 G 中是正规子群并且因子群 G/N 有陪集 N, (1+n)N, (1+n)2N,…,(1+n)n−1N。 Pallier加密系统基于了在不知道 n 的因子分解的时候难于确定 G 的随机元素的陪集的猜想。
性质商群 G / G 同构于平凡群(只有一个元素的群)，而 G / 同构于 G。
G / N 的阶定义为等于 [G : N]，它是 N 在 G 中的子群的指标(index)。如果 G 是有限的，这个指标还等于 G 的阶除以 N 的阶。注意 G / N 可以在 G 和 N 二者是无限的时候是有限的(比如 Z / 2Z)。
有一个“自然”满射群同态 π : G → G / N，把每个 G 的元素 g 映射到 g 所属于的 N 的陪集上，也就是: π(g) = gN。映射 π 有时叫做“ G 到 G / N 上的规范投影”。它的核是 N。
在包含 N 的 G 的子群和 G / N 的子群之间有一个双射映射；如果 H 是包含 N 的 G 的子群，则对应的 G / N 的子群是 π(H)。这个映射对于 G 的正规子群和 G / N 也成立，并在格定理中形式化。
商群的一些重要性质记录在同态基本定理和同构基本定理中。
如果 G 是阿贝尔群、幂零群或可解群，则 G / N 也是。
如果 G 是循环群或有限生成群，则 G / N 也是。
如果 N 被包含在 G 的中心内，则 G 也叫做这个商群的中心扩张。
如果 H 是在有限群 G 中的子群，并且 H 的阶是 G 的阶的一半，则 H 保证是正规子群，因此 G / H 存在并同构于 C2。这个结果还可以陈述为“任何指标为 2 的子群都是正规子群”，并且它的这种形式还适用于无限群。
所有群都同构于一个自由群的商。
有时但非必然的，群 G 可以从 G / N 和 N 重构为一个直积或半直积。判定何时成立的问题叫做扩张问题。不成立的一个例子如下。Z4 / { 0, 2 } 同构于 Z2，并且还同构于 { 0, 2 }，但是唯一的半直积是直积，因为 Z2 只有一个平凡的自同构。所以 Z4 不同于 Z2 × Z2，它不能被重构。
参见商环，也叫做因子环
群扩张
格定理
商范畴
短正合序列