相轨迹
相轨迹作图方法
相轨迹的作图方法可分为：解析法和图解法，其中解析法主要针对可直接由方程求出 关系的、相对比较简单的系统，而图解法则针对不能直接由方程求出 关系的系统，原则上说，此法对任何非线性系统都适用，图解法根据具体的作图方法不同，可进一步分为等倾斜线法 , δ 法。下面介绍这三种方法。
1、 解析法：
（A） 直接法。即由式（ 8 － 16 ）直接求取 和 的关系。
（B） 先分别求出 , 然后消去 t ，但大多数情况下，要消去 t 比较困难。
例如对于一线性二次系统： ，可分别采用上述两种方法进行计算，有：
（ A ）
相轨迹为椭圆
（ B ） ， ，消去 t 后，结果与（ A ）相同。
2、 等倾斜线法：
等倾斜线法的基本思想是：考虑相轨迹通过相平面上的点（ ），令 , 则 是常数，即为相轨迹通过该点的斜率，以该点处的斜线近似代替该点附近实际的相轨迹，并依此法光滑连接所有的短线段，即可得到系统的相轨迹，如图 8 － 10 。具体绘制时，可先考虑斜率 固定，则有： (8-20)
式（ 8 － 20 ）表示相轨迹上斜率为 的各点的连线，此连线称为等倾斜线。然后在这些等倾斜线上作出与其相应的短线段。在不同的等倾线上均画出短线段，并进行光滑连接，就得到所求的相轨迹和相平面图。
等倾线法有如下特点：
a) 在等倾线为直线时较方便．若为直线，则也可由 先画出等倾线，然后再在各等倾线上画出斜率为 的短线段。
3.法
基于将相轨迹近似认为由一系列园弧连接而成的思想。考虑系统：
(8-21)
式中， 可以是线性的也可以是非线性的连续、单调函数，则有： (8-22)
令 ，则 (8-23)
在 附近， 常数，则
（ 8 － 24 ）
其中： ；因此，在 相平面上 相轨迹是圆曲线，圆心位于（ ， 0 ），半径 为 （ ， 0 ）和（ ， ）两点间的距离，即 。
图8－11
4 、由相轨迹求系统的时间响应
根据相平面的定义， (8-25)
对于有解析解的情况，在 上 时，应能求出时间 t ：
，
对于无解析解的情况，则可用园弧或相轨迹平均斜率近似计算 t ：
若在增量 范围内，只要 比 的平均值小得多，即 ，则可用 近似，得到：
通过逐段计算，也可得到 的关系曲线。
5 、一阶系统和特殊二阶系统相轨迹
１） 一阶系统 一阶系统的运动方程可写成： (8-26)
在 ( ) 相平面上相轨迹是直线。根据 T 和 M 的不同取值，可得到图 8-13 所示的相轨迹。
图 8-13
2) 特殊二阶线性系统 更一般的二阶线性系统的运动方程形式： (8-27)
若令N=0，特殊形式的二阶线性系统的运动方程可写成： (8-28)
下面简单分析在不同的M下的几种特殊相轨迹。
1 ．抛物线： （无奇点） 2．园或椭园： （奇点为原点）直线： （奇点为平衡线，且与横坐标平行。） α相线：
图8-14 特殊形式的二阶线性系统的特征根和相轨迹