Wallis公式

π/2 = lim(n→∞)[ (2n)!! / (2n-1)!! ]^2 / (2n+1)

这个公式便是Wallis公式.

【Wallis公式证明】用分布积分法可得

由sinx的单调性推知

即为

变形后得到

由求极限的夹逼准则，得到

即为Wallis公式

【Wallis公式的意义】Wallis公式是关于圆周率的无穷乘积的公式,但Wallis公式中只有乘除运算,连开方都不需要,形式上十分简单.虽然Wallis公式对π的近似计算没有直接影响,但是在导出Stirling公式中起到了重要作用

Wallis公式还有一些变形:

①(2n)!! / (2n-1)!! ~ √(πn)

②(n!)^2 * 2^2n / (2n)! ~ √(πn)

从①式可以看出Wallis公式的实质就是刻画了双阶乘(2n)!!与(2n-1)!!之比的渐近性态