旋转变换

简称旋转.欧氏几何中的一种重要变换.即在欧氏平面上(欧氏空间中),让每一点P绕一固定点(固定轴线)旋转一个定角,变成另一点P′,如此产生的变换称为平面上(空间中)的旋转变换.此固定点(固定直线)称为旋转中心(旋转轴),该定角称为旋转角.旋转是第一种正交变换.

假设初始点P=(Xo,Yo)T中心点O(Cx,Cy)T矩阵A[2×2]=(cosθ,-sinθ;sinθ,cosθ)

(T表示转置,θ为从P到P'的旋转角差值)

那么P'=A×(P-O)+O

即P'=((Xo-Cx)×cosθ-(Yo-Cy)×sinθ+Cx,(Xo-Cx)×sinθ+(Yo-Cy)×cosθ+Cy)

证明：

设圆心为O(Cx,Cy)T,半径为r=|P-O|的圆C为:

x=Cx+r×cosα

y=Cy+r×sinα

则P点位于圆上,设向量(OP)与x轴夹角是β;

另设一点P'在圆上，且向量(OP)与向量(OP')的夹角是θ,可得:

P'x=Cx+r×cos(β+θ)=Cx+(r×cosβ)×cosθ-(r×sinβ)×sinθ -----------①

P'y=Cy+r×sin(β+θ)=Cx+(r×sinβ)×cosθ+(r×cosβ)×sinθ -----------②

由于:

Xo=Cx+r×cosβ

Yo=Cy+r×sinβ

得到:

r×cosβ=Xo-Cx

r×sinβ=Yo-Cy

代入①②得:

P'x=Cx+(Xo-Cx)×cosθ-(Yo-Cy)×sinθ

P'y=Cy+(Yo-Cy)×cosθ+(Xo-Cx)×sinθ

即：

P'=((Xo-Cx)×cosθ-(Yo-Cy)×sinθ+Cx,(Xo-Cx)×sinθ+(Yo-Cy)×cosθ+Cy)

写作矩阵形式：

P'=A×(P-O)+O

其中：

P=(Xo,Yo)TO(Cx,Cy)T矩阵A[2×2]=(cosθ,-sinθ;sinθ,cosθ)