相对论中的著名公式

公理，无法证明。

2．坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt，即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，

dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2 (1).

则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2>0称类空间隔，dS^2<0称类时间隔，dS^2=0称类光间隔。相对论原理要求(1)式在坐标变换下形式不变，因此(1)式中存在与坐标变换无关的不变量，dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。

由数学的旋转变换公式有：（保持y,z轴不动，旋转x和ict轴）

X=xcosφ+(ict)sinφ

icT=-xsinφ+(ict)cosφ

Y=y

Z=z

当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ

得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c^2)

3．4．5．6．略。

7．动量表达式及四维矢量：（注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，下式中dt=γdτ）

令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。

则V=(γv,icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理）

四维动量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)

四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)（F为三维力）

四维加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)

则f=mdV/dτ=mω

8．略。

9．质能方程：

fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0

故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）

由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0（F,v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式)）

故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM，即：Ek=Mc^2-mc^2

故E=Mc^2=Ek+mc^2