最值定理
数学的基本公式之一，其表达为
已知X，Y都为正数，则 __
积XY为定值P时，当X=Y，X+Y有最小值2√P
和X+Y为定值S时，当X=Y，XY有最大值1/4S＊Ｓ
函数的最值定理
若函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值与最小值
证明
先证明其有界，（应用致密性定理）倘若f在[a,b]上无界，则对任意正整数n,存在Xn∈[a,b]，使得f(Xn)>n。依次取n=1，2…，则得到数列{Xn}（[a,b]。由致密性定理，它含有收敛子列{Xnk}，记lim(k→∞)Xnk=ξ。
由a≦Xnk≦b及数列极限的保不等式性，ξ∈[a,b]。利用f在点ξ连续，推得lim(k→∞)f(Xnk)=f(ξ)<+∞
另一方面，由Xn的选取方法又有f(Xnk)>nk≥k→+∞即lim(k→+∞)f(Xnk)=+∞。
这与上式矛盾，所以，f在[a,b]有上界，类似可证明其有下界。
因为f在[a,b]上有上界，故由确界原理，f的值域f([a,b])有确界，记为M。
若不存在ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=M,则设：g(x)=1/(M-f(x))，x∈[a,b]
易见函数g在[a,b]上连续，故g在[a,b]上有上界。设G是g的一个上界，则0<g(x)=1/(M-f(x))≤G，x∈[a,b]
从而推得f(x)≦M-1/G，x∈[a,b]。
但这与M为f([a,b])的上确界(最小上界)相矛盾。所以必存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=M,即f在[a,b]上有最大值，同理证明有最小值