运动稳定学
物体或系统在外干扰的作用下偏离其运动后返回该运动的性质。若逐渐返回原运动则称此运动是稳定的，否则就是不稳定的。对任何运动，外干扰都是经常存在的，因此可以说，物体或系统的某一运动的稳定性就是它的存在性，只有稳定的运动才能存在。在工程技术上，要使设计对象的某些运动能够实现，那些运动必须是稳定的。运动是一切事物的变化过程，所以研究运动的稳定性，涉及所有科学技术领域，包括社会科学。1892年俄国数学家A.M.李亚普诺夫开创了运动稳定性研究的新纪元。他提出解决运动稳定性问题的两个方法：第一，是通过求解系统的微分方程分析运动的稳定性；第二，(直接法)是定性的方法，它不需求解微分方程，而是寻求具有某些性质的函数(称李亚普诺夫函数)，使这些函数与微分方程相联系，就可控制积分轨线的动向。李亚普诺夫第二方法是目前解决运动稳定性问题的基本方法，已在应用数学、陀螺力学、自动控制、航空航天等领域广泛应用。当今，如不作说明，运动稳定性常被理解为李亚普诺夫稳定性。
线性系统的稳定性 有3种：稳定、临界情况和不稳定，它们分别对应于李亚普诺夫意义下的渐近稳定、稳定和不稳定。线性系统有以下两个常见的数学模型：①高阶微分方程，式中x(i)表示x的i阶导数，ai为标量系数。②一阶微分方程组 ，式中A为n×n常值阵。下面分别给出这两个数学模型代表的线性系统的稳定性定理。①高阶微分方程线性系统稳定性定理。若上面第一个方程的特征根，即特征方程λn＋a1λn-1＋…＋an-1λ＋an＝0的根，均具有负实部，则系统稳定；有一个零根或一对虚根而其余根有负实部，则系统属临界情况；其他情况下，系统不稳定。为避免求根而直接由方程的系数判别系统的稳定性，有代数判据：A.赫维茨判据和E.J.劳思检验法。②一阶方程组线性系统稳定性定理。若上面第二个方程组的特征根，即特征方程det[λΙ－A］＝0 的根，均具有负实部 ，则系统稳定；有一个正实部的根，则系统不稳定；实部为零的根代数重数等于其几何重数且其余根均有负实部，则属临界情况；实部为零的重根代数重数大于几何重数，则系统不稳定。
定常非线性系统的稳定性 设n维定常非线性系统的运动由向量微分方程描述，式中x为n维状态向量；，t为流逝时间。设g(t)是它的一个已知特解，即系统的一个已知运动，则有(t)＝f〔g(t)〕。若系统于初始时刻t0受到初始扰动，初始状态由g(t0)变到x0，则初始扰动为y0＝x0－g(t0)。记初始条件为(t0，x0)的受扰运动为x(t)＝x(t；t0，x0)，则运动g(t)的扰动变量为y(t)＝x(t)－g(t)。直接微分可得扰动y(t)应满足的扰动微分方程(t)=F(y，t) 。 研究系统=f(x) 的运动g(t)的稳定性问题，等价于研究g(t)的扰动y(t)的扰动微分方程的原点y(t)＝0的稳定性问题，因为x(t)→g(t)等价于y(t)→0。
李亚普诺夫稳定性定义有稳定、渐近稳定、不稳定3种类别。①设系统由向量微分方程=f(x)描述，g(t)是它的一个特解。若系统于初时刻t0受到初始扰动，初始状态由g(t0)变到x0，则初始扰动为x0－g(t0)。记由初始条件(t0，x0) 决定的受扰运动为x(t)＝x(t；t0，x0)。若任取正数ε和t0≥0，都可找到另一正数 δ＝δ（ε，t0） ，对任何初扰动满足‖x0－g(t0)‖＜δ都有‖x(t；t0，t0)－g(t)‖＜ε对一切t≥t0成立，则称g(t)是稳定的。②若运动g(t)是稳定的，且t→∞时，‖x(t)－（t）‖→0，则称g（t）是渐近稳定的；③若运动g(t)不满足稳定条件，则称它是不稳定的。李亚普诺夫稳定性定义是局部性的，只要ε、δ存在使定义成立，而不管它们多小，都称，g(t)是稳定、渐近稳定或不稳定的。后来又建立了全局渐近稳定的定义 ，这时的初始扰动y。可以任意大。全局稳定性是工程技术上所要求的性质。
李亚普诺夫建立了关于渐近稳定、稳定和不稳定的定理，从而奠定了稳定性理论的基础。后来被补充了很多新定理，如关于全局稳定的定理等。李亚普诺夫稳定性定理已成为解决非线性系统稳定性的重要理论和方法并被普遍地应用，通称李亚普诺夫方法或v函数法。但其应用强烈地依赖于（t）的构造，而这正是一个十分困难的问题。
李亚普诺夫函数用以证明稳定性所构造的满足稳定性定理的函数，泛称李氏函数或v函数。每一个系统都需构造自己的李氏函数，才能确定其稳定性。最简单最常用的是二次齐次式形式的v函数。
李亚普诺夫第一近似理论 利用一次近似判别非线性系统零解稳定性的理论。在原点将系统方程展开为正整幂级数：=f(x) =Ax+f2(x) , 其=Ax是=f(x) 的第一近似系统，即线性系统，f2 (x)是含高次项的部分。第一近似定理指出：若A的特征根均有负实部，则原系统渐近稳定；若A至少有一个特征根的实部为正，则原系统不稳定；若A有实部为零的特征根，而其他特征根的实部非正，则原系统的稳定性由高次项f2 （x）决定 。因大量实际问题可用一次近似描述 ，所以李亚普诺夫第一近似理论在工程中广为应用。