波印亭定理

波印亭定理是约翰·亨利·波印亭发现的关于电磁场的能量守恒的定理。它把能量密度u的时间导数，与能量的流动，以及与电磁场做功的速率联系起来。由以下的公式总结：

其中S是波印亭矢量，表示能量的流动，J是电流密度，E是电场强度。能量密度u为（符号ε0是真空介电常数，μ0是真空磁导率）：

由于磁场不做功，等式的右端便给出了电磁场每秒·米所做的总功的负值。

积分形式的波印亭定理为：

其中是包围着体积的曲面。

在电机工程中，该定理通常写成以下把能量密度u展开的形式，这与连续性方程相似：

推导

这个定理可以从麦克斯韦方程组中的两个方程推出。首先考虑法拉第电磁感应定律：

两边取与的点积，得：

接着考虑安培环路定律：

两边取与的点积，得：

第一个方程减去第二个方程，得：

最后，根据乘积法则（两个矢量的叉积的散度），可得：

由于波印亭矢量定义为：

因此与以下是等价的：