蛋圆曲线

定义 平面上至少有一条对称轴的卵形线是蛋圆。

劈锥曲线族本文涉及的蛋圆属于劈锥曲线族，是四次方程曲线。在椭圆方程中，令a = b = r ，椭圆即成为特例——圆；而椭圆又是蛋圆的一种特例。

公式设准线为椭圆的正劈锥面方程为 x^2 / a^2 + y^2 / z^2 = 1,其轴为 x 轴，准线为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1，以平行于劈锥面轴的平面

z = ky + b 去截正劈锥面，得交线为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1

{ z = ky + b (2)，将（2）投影到 xOy 平面上，即得蛋圆标准方程（1），见图1。

仿椭圆参数方程，引入角参数 t ，蛋圆参数方程为

{ x = a cos t

y = b sin t / ( 1－k sin t) (∣k∣﹤1) (3)。

令（1）在三维直角坐标系中绕 y 轴旋转，得出旋转蛋球面方程（详见图2）：

蛋圆（1）的取值范围：a > 0, b > 0, ︱k︱< 1。

因为 k 是平面 ky + b 对于 zOx 坐标面的斜率，︱k︱﹥ 1时，平面在正劈锥面上不能截到封闭的卵形线，k = 0 时（1）成为特例——椭圆。b = 0 时（1）成为两条直线： —a ≤ x ≤ a ；

－b / (1 + k) ≤ y ≤ b / (1 － k)。

蛋圆（1）内线段：（1）与 x 轴两个交点的连接线段称“横径”，其长度记为 2r，横径被其中点所分成的两个线段称“对称半径”，其长度记为r ,r = a ；(1)以 y 轴为唯一对称轴，是偶函数，（1）与其对称轴的两个交点间的线段称“直径”，其长度记为 d ，

d = b / (1－k) － [－b/ (1 + k )] = 2b /(1－k^2)；直径与横径的比值称圆度记为u，u = d / 2r = b / a(1－k^2)，当u = 1时蛋圆变为特例——圆，当u → 0 时蛋圆越来越矮胖，当u →∞时蛋圆越来越瘦长。

由于蛋圆（1）是已知唯一的三参数蛋圆曲线，调节a、b、k三个参数比例，可以无限逼近符合定义的任何蛋圆，包括获得比椭圆方程式更精确地逼近真实的地球外形方程式。

图3：计算机绘制的立体蛋圆——蛋球面

（方程式为：（x^2 + z^2) /16 + y^2/(0.2y +5)^2= 1）

注释

注1 卵形线定义：平面上与任一直线相交不多于两点的闭曲线。它是凸闭曲线。

《数学词典》215页，上海辞书出版社1992年8月第一版。

注2 本文主要引用《浅析椭圆的一种推广——蛋圆》曹明建、曹明达1999-09-01。

注3 国内课题来源：《科学画报》1983.6，36页《怎样画蛋》王根明、陆彤，“用数学术语来表示蛋的形态曲线，至今还没有研究出来。”（第8行）

注4 国际课题来源：英国《新科学家》29july1982,Vol95,No1316,P290 <<The drawing-out of an egg>>,Robert Dixon,P293末段。

注5 蛋圆应用介绍：（1）《知识窗》1995.11,25页，《蛋形的奥秘》曹明建、王令朝。（2）《科学画报》1996.11，13页《蛋形的魅力》王令朝，本文披露了蛋圆标准方程，可惜方程式在逗号前漏印了“= 1”。（3）《文汇报》2008.07.29.11版《师法自然赋流形（上）》詹克明，整个第二节讨论“师法蛋壳力学特征的穹顶结构”。

注6 其他蛋圆

（1）卡西尼卵形线 ,《数学手册》高等教育出版社1979年5月第一版，392页。与二定点的距离之积为常数的动点轨迹，

( x^2 + y^2)^2－ 2c^2(x^2－y^2) = a^4 －c^4 (a < c)

(2)《数学通报》1995.7，36页《关于超圆、超球等几何图形面、体积的计算》张正印，x^2 + y^2 = (y a^1/n )^[2n/(n+1)],(a>0,n>0)

（3）《形形色色的曲线》178页，孟格尔卵形线ρ= 2a cos ^n θ ,

N 为正整数。蒋声编著，属于《中学生文库精选续编·数学趣谈辑》，上海教育出版社1999年12月第2版。