四边形余弦定理

定理的提出布瑞须赖德尔(Bretschnelder,1808-1878)发现的四边形的余弦定理.

由四边形的余弦定理立即得到托勒密不等式:

a*c+b*d≥m*n

定理内容四边形的余弦定理:设四边形ABCD的边长为AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，对角线为m,n。求证:

(m*n)^2=(a*c)^2+(b*d)^2-2*a*b*c*d*cos(A+C). .

四边形的余弦定理的证明.证明 在AB,AD边上向外作△AKB∽△CDA, △ADM∽△CAB, 则有

AK=ac/m,AM= bd/m,KB=DM=ad/m。

因为 ∠KBD+∠MDB=∠CAD+∠ABD+∠BDA+∠CAB=180°

所以KB∥DM，四边形KBDM是平行四边形，KM=BD=n。

在△AKM中，由余弦定理得:

n^2=(ac/m)^2+(bd/m)^2-2(ac/m)*(bd/m)*cos(A+C)

上式两边同乘m即得四边形的余弦定理。

推广余弦定理