埃舍尔镶嵌图形
定义埃舍尔，全名毛里茨·科内流斯·埃舍尔（Maurits Cornelius Escher），一名对现代艺术影响深远，却被史学家遗忘的、世界艺术史上“绝无仅有的”艺术家。和其他依靠感性进行创作的艺术家不同，埃舍尔的作品是经过复杂的理性思维的产物。他从事物的精确、规则、秩序等特性中发现了美，创造了美。
一、埃舍尔的镶嵌图形关于平面规则分割（平面镶嵌图形），埃舍尔写到：“在数学领域，平面规则分割已经从理论上获得了充分的研究……数学家打开了一扇通向无限可能性的大门，但是他们自身并没有进入其中看看。他们特殊的禀赋使他们对如何打开这扇门的方式更感兴趣，而对隐藏在其后的花园不感兴趣。”埃舍尔正是从一个艺术家的角度，利用数学家的发现，发掘了美，创造了美。他的平面规则分割作品令许多数学家吃惊。他在已知的17种抽象平面分割群组形式上创造了许多具象镶嵌图案。这种把抽象的几何形状赋予具象的形象其实是一种复杂的图形思维过程。要完成具象镶嵌图案的创作，对各个图形的思考必须要非常严谨，每个镶嵌图形既要考虑它的镶嵌可能性，又要赋予具体的形象，而且这种镶嵌是四面无限延伸的，这就必须要具备很强的图形（图像）联想能力。
埃舍尔的图形镶嵌作品，可以将其分为单体镶嵌、双体镶嵌、多体镶嵌和渐变镶嵌四种形式。
二、镶嵌图形的构思过程1．几何形状的演变通过对埃舍尔的镶嵌图形的研究发现，其作品都是通过对简单的几何形状的具象思维而逐渐演绎而来的。如果将其作品中的镶嵌图形作逆向思维，即向简单的几何形状演化，我们会发现——到最后只是一个简单的正方形而已。由此可见，正方形是镶嵌的最基本图形，一切复杂的可以用作镶嵌的图形都是由其演化而来的（如图1）。通过对正方形作可镶嵌式分割，会得到很多几何形，如果把这些几何形再作进一步细化分割，就会形成具象的可用于镶嵌的图形。这样看起来似乎非常简单，其实不然，由简单的几何形状到演化为具象的图形的过程，其实是很复杂的一种思维过程，需要具备特别强的图形思维及联想能力才可能做到。2．几何群组的运用除了几何形状的演化外，为了便于从整体上把握镶嵌图形镶嵌的可能性，运用几何群组的形式是很有必要的。迄今为止，数学家共找到17种可用于镶嵌的几何群组，令数学家吃惊的是，埃舍尔的镶嵌图形作品恰巧有目的或无目的地运用了这些几何群组。如埃舍尔的鱼的镶嵌作品就是采用的几何群组形式而创作的（如图2）。无疑，这些几何群组的运用加大了镶嵌图形的可行性，也可以更好地从整体上去把握它，但这些同样需要具备一定的图形思维能力，否则，很难做到。3．形状的多重思维即空域形状的多重性具象思维（如图3）。对于空域形状可以联想到大雁，也可以联想到飞鱼。4．在镶嵌图形基础上的渐变在镶嵌图形的基础上作渐变，看起来要比创作镶嵌图形容易得多，但其实这一过程也异常复杂。我们知道，镶嵌图形是给简单的几何形状赋予复杂的具象图形的一种空域思维，这个空域是固定的，因此是静态的。而把镶嵌图形作进一步的渐变处理则是动态的，这种动态性表现在对不同空域的连续性思维，它要求我们具备一定的动态性思维才有可能完成。也就是说，当我们的眼睛盯着一个空域时，要求我们头脑中还要去考虑第二个、第三个、第四个等等。因此，不具备动态性思维是不可能创造出渐变镶嵌图形的。
三、埃舍尔镶嵌图形对于图形思维能力的培养通过研究埃舍尔镶嵌图形的构思过程，我们不难发现，要使图形的镶嵌成为可能，需要具有超强的空域图形思维、联想，图形整体把握及图形的动态思维能力。这些能力是图形思维必须具备的能力，而镶嵌图形的创作过程对于这些能力的培养是很有帮助的。
如果拿一张画面中心画有一个黑点的白纸让学生看，就会发现，几乎100%的同学都会盯住那个黑点，而对黑点周围的大面积白则熟视无睹、视而不见。这种现象被称为“黑点式黑暗性思维”。笔者也曾做过一个测验，让学生通过六楼的窗户看楼下的甬道，结果同样，几乎所有人都在注意交错的甬道及甬道上的行人，没有一个人去留意甬道之间形成的空隙的形状。这种思维的局限性是很可悲的。而埃舍尔的镶嵌图形恰是训练这些平时熟视无睹、视而不见的思维空白区域。在把这个空白区域赋予具象的形象的同时，既要考虑其镶嵌的可能性，又要赋予其具象的形象，而且，每个具象形象的边缘线都是两个形状的共用线。因此，要时刻注意“一线两形”的问题，这就拓展了思维，增强了思维的能动性。这种思维过程是一种复杂的图形思维过程，它对图形的联想能力、图形的整体把握能力以及图形的动态思维能力的培养是非常有帮助的。