欧几里得整环
在抽象代数中，欧几里得整环（Euclidean domain）是一种能作辗转相除法的整环。凡欧几里得整环必为主理想环。
定义一个欧几里得整环是一整环D及函数 ，使之满足下述性质：
若 而 ，则存在 使得a=bq+r，而且或者r= 0，或者v(r) <v(b)。 若a整除b，则 。 函数v可设想成元素大小的量度，当 时可取v(x): = |x| 。
例子欧几理得整环的例子包括了：
整数环 ，v(x) = |x| 。高斯整数环 。域上的多项式环（v(f) = degf）与幂级数环（v(f) 定义为使X|f(X) 的最大非负整数n）。 离散赋值环，v(x) 定义为使 的最大非负整数n，其中 表该离散赋值环的唯一极大理想。 利用辗转相除法（定义中的第一条性质），可以证明欧几里得环必为主理想环，此时理想由其中v-值最小的元素生成。由此得到一个推论：欧几里得整环必为唯一分解环。
并非所有主理想环都是欧几里得整环，Motzkin 证明了 的整数环在d= − 19, − 43, − 67, − 163 时并非欧几里得整环，却仍是主理想环。这方面的进一步结果详见以下文献。