多元函数
一．多元函数的定义1．多元函数定义设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。
若对于每一个有序数组（x1,x2,…,xn）∈D，通过对应规则f，都有惟一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为y=f（x1,x2,…,xn） ，（x1,x2,…,xn）∈D 。 变量x1,x2,…,xn称为自变量；y称为因变量。（xi,其中i是下标。下同）
当n＝1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D;
当n＝2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D.图象如图。
二元及以上的函数统称为多元函数。2．其他定义设D是n维空间的一个点集，f为某一确定的对应法则。如果对于每个点P(x1,x2,…,xn)∈D，变量z按照对应法则f总有惟一确定的值和它对应，则称z是变量x1,x2,…,xn的n元函数。记为z＝f（x1,x2,…,xn），(x1,x2,…,xn) ∈D，或z＝f（P），P∈D。若函数f的定义域D是实数集R的一个子集，即只依赖于一个自变量，就说f是一元函数。若函数f的定义域D是n个R的笛卡尔（R. Descartes）积R×R×…×R=R^n的子集,即依赖于n个独立自变量，就说f是n元函数。
当n≥2时，n元函数泛称为多元函数。
二．多元函数的三要素1．定义域集合D＝{（x1,x2,…,xn）| y=f（x1,x2,…,xn）}，称为函数的定义域，也可以记为D（f）或Df（f是下标）。2．对应规则对应规则（也称对应关系、对应法则，对应规律）f可以用数学表达式（包括解析式）、图象、表格等表示。3．值域对于（x10,x20,…,xn0）∈D,所对应的y值，记为y0＝f（x10,x20,…,xn0）称为当（x1,x2,…,xn）=（x10,x20,…,xn0）时，函数y=f（x1,x2,…,xn）的函数值。
全体函数值的集合｛y∣y=f（x1,x2,…,xn），（x1,x2,…,xn）∈D｝称为函数的值域，记为Z或Z（f）。
三．多元函数的背景人们常常说的函数y=f(x)，是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依赖于一个自变量，称为一元函数。
但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，即因变量的值依赖于几个自变量。
例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。
四．几点说明1．研究一元函数的思想方法研究一元函数的思想方法是研究多元函数、尤其是二元函数的基础。研究二元函数的思想方法又是研究多元函数的基础。2．多元函数性质象一元函数一样，它也有定义域、值域、自变量、因变量、等概念和性质。3．三种定义的异同这里分别给出了多元函数的三种定义。极限、导数即有序数组定义、n维空间定义和笛卡尔积定义。可以说前两者是等价的。后者外延更广泛。
五．多元函数的本质多元函数的本质是一种关系。是两个集合间一种确定的对应关系。这两个集合的元素可以是数；也可以是点、线、面、体；还可以是向量、矩阵；等等。一个元素或多个元素对应的结果可以是惟一的元素，即单值的。也可以是多个元素，即多值的。
人们最常见的函数，以及目前我国中学数学教科书所说的“函数”，除有特别注明者外，实际上（全称）是一元单值实变函数。
设点（x1，x2，…，xn） ∈GÍRn，UÍR1 ，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U，u＝f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。
基本初等函数及其图像 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。
①幂函数：y＝xμ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，＋∞），μ为负整数时是 （－∞，0）∪（0，＋∞）；μ＝α(为整数)，当α是奇数时为（ －∞，＋∞），当α是偶数时为（0，＋∞）；μ＝p／q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。
②指数函数：y＝ax（a＞0 ，a≠1），定义成为（ －∞，＋∞），值域为（0 ，＋∞），a＞0 时是严格单调增加的函数（ 即当x2＞x1时，） ，0＜a＜1 时是严格单减函数。对任何a，图像均过点（0，1），注意y＝ax和y＝（）x的图形关于y轴对称。如图4。
③对数函数：y＝logax（a＞0）， 称a为底 ， 定义域为（0，＋∞），值域为（－∞，＋∞） 。a＞1 时是严格单调增加的，0＜a＜1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数 。如图5。
以10为底的对数称为常用对数 ，简记为lgx 。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作lnx。
④三角函数：见表2。
正弦函数、余弦函数如图6，图7所示。
⑤反三角函数：见表3。双曲正、余弦如图8。
⑥双曲函数：双曲正弦（ex－e-x），双曲余弦?（ex＋e-x），双曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x） ，双曲余切（ ex＋e-x）／（ex－e-x）。
[编辑]补充
在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）＝y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
术语函数，映射，对应，变换通常都是同一个意思。
六．参考资料《高等数学手册》、《一元微积分》、《多元微积分》、《高等代数》、《实变函数论》、《数学教学论》、《中学数学教师手册》