费马点

费马点发现者费马(Fermat，Pierre de Fermat)(1601～1665）法国数学家，被誉为“业余数学家之王。”

费马点定义在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。

在平面三角形中:

(1).三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点. 也称三角形的正等角中心。

(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.

(3)当△ABC为等边三角形时,此时外心（内心、垂心、重心）与费马点重合

（1） 等边三角形ABC中费马点P满足PA=PB=PC，PA、PB、PC分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。P是内切圆和外切圆的中心。△BPC≌△CPA≌△PBA。

（2） 当BC=BA但CA≠AB时，BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。（等腰三角形）

费马点的判定（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点P,若PA+PB+PC有最小值,则P为费马点。

（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

证明我们要如何证明费马点呢：(1)费马点对边的张角为120度。

△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,

△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B

同理可得∠CBP=∠CA1P

由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度

同理,∠APB=120度，∠APC=120度

(2)PA+PB+PC=AA1

将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度

又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，

又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。

(3)PA+PB+PC最短

在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。

平面四边形费马点

平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。

（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。

（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。

经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：

当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。

费马点性质：（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。